Когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.
Свойства квадрата.
У всех 4-х сторон квадрата одинаковая длина, т.е. стороны квадрата равны:
AB = BC = CD = AD
Противолежащие стороны квадрата параллельны:
AB || CD , BC || AD
Все диагонали делят угол квадрата на две равные части, таким образом, они оказываются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ ACB = ∠ ACD = ∠ BDC = ∠ BDA = ∠ CAB = ∠ CAD = ∠ DBC = ∠ DBA = 45°
Диагонали делят квадрат на 4 одинаковых треугольника , кроме того, полученные треугольники в одно время и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата.
Диагональю квадрата является всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов квадрата.
Диагональ всякого квадрата больше стороны этого квадрата в √2 раз.
Формулы для определения длины диагонали квадрата:
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата :
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата :
4. Сумма углов квадрата = 360°:
5. Диагонали квадрата одной длины:
6. Все диагонали квадрата делят квадрат на 2-е одинаковые фигуры, которые симметричны:
7. Угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности :
R - радиус вписанной окружности;
D - диаметр вписанной окружности;
d - диагональ квадрата.
10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
R - радиус описанной окружности;
D - диаметр описанной окружности;
d - диагональ.
11. Формула диагонали квадрата через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата:
C - линия, которая выходит из угла на середину стороны квадрата;
d - диагональ.
Вписанный круг в квадрат - это круг, примыкающий к серединам сторон квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности - сторона квадрата (половина).
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.
Круг, описанный вокруг квадрата - это круг, который проходит через 4-ре вершины квадрата и который имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата больше радиуса вписанной окружности в √2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен 1/2 диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Страница 3
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойством прямоугольника и ромба:
У квадрата все углы прямые.
Диагонали квадрата равны.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его угла.
В учебнике "Геометрия 7-9" Л.С. Атанасяна (5) понятие "квадрат" вводится в п.46 "Ромб и квадрат" 3 параграфа после изучения "ромба".
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Затем формулируются основные свойства квадрата:
Все углы квадрата прямые.
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Рассмотрим методику изучения темы "Квадрат" на примере учебника А.В. Погорелова.
После введения свойств и определения квадрата школьники решают задачи.
3адача 1. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.
Дано: ABCD-прямоугольник, AC, BD - диагонали, ACBD.
Доказать: ABCD-квадрат.
Доказательство.
Так как прямоугольник есть параллелограмм, а параллелограмм с перпендикулярными диагоналями есть ромб, то у ABCD все стороны равны => ABCD - квадрат (по определению).
3адача 2. Докажите, что ромб, у которого один угол - прямой, является квадратом.
Дано: ABCD - ромб,
Доказать: ABCD - квадрат.
Доказательство.
Так как ABCD - ромб, значит ABCD - параллелограмм.
ABCD - параллелограмм, у которого АВС=90.
Следовательно, ABCD - прямоугольник.
А прямоугольник, у которого все стороны равны (ABCD - ромб), по определению является квадратом.
Периметр квадрата равен 28см. Найдите его сторону.
В квадрате ABCD проведена диагональ BD. Определите:
а) вид треугольника ABD; б) углы AABD.
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
Диагональ квадрата равна 4 м. сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
Конспект урока по теме "Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат".
Цели урока: Систематизировать, обобщить знания о четырех фигурах - параллелограмме, прямоугольнике, ромбе, квадрате, их свойствах, признаках.
Девиз урока:
"Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. "
(М.В. Ломоносов).
План урока:
Беседа с классом по вопросам.
Работа по готовым чертежам (работа в парах).
Применение в жизни (сообщение).
Физкультминутка ("истинно - ложно").
Тест (2 варианта).
Домашнее задание: п.45, 46, № 406, № 411, на оценку "5" № 412.
Самостоятельная работа
Итоги урока.
1. Загадки:
УЧИТЕЛЬ: Вспомним определения четырехугольников. В этих загадках используются их свойства. Я читаю загадку, а вы поднимаете карточку с верным ответом (у каждого ученика карточки: параллелограмм, квадрат, ромб, прямоугольник).
1. Знаете ли вы меня
Хочу проверить,
Любую площадь я могу измерить,
Ведь у меня четыре стороны
И все они между собой равны.
И у меня равны еще диагонали,
Углы мне они делят пополам, и ими
На части равные разбит я сам.
(Квадрат)
2. И у меня равны диагонали,
Хочу сказать я, хотя меня не называли,
И хоть я не зовусь квадратом
Он мне приходится родным братом.
(Прямоугольник)
3. Хоть стороны мои
Попарно и равны, и параллельны,
Все ж я в печали, что не равны мои диагонали,
Да и углы они не делят пополам
Но все ж, скажи, дружок, кто я?
(Параллелограмм)
4. Мои хотя и не равны диагонали,
По значимости всем я уступлю едва ли.
Ведь под прямым углом они пересекаются,
И каждый угол делят пополам,
И очень важная фигура я, скажу я вам.
2. Беседа с классом по вопросам:
К какому виду четырехугольников относятся прямоугольник, ромб, квадрат?
Назовите свойства параллелограмма?
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.
Параллелограмм , ромб и прямоугольник так же являются квадратом, если они имеют прямые углы, одинаковые длины сторон и диагоналей.
Свойства квадрата
1. Длины сторон квадрата равны.
AB=BC=CD=DA
2. Все углы квадрата прямые.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}
3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
AB \parallel CD, BC \parallel AD
4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}
5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.
\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^{\circ}
Доказательство
Квадрат является ромбом \Rightarrow AC — биссектриса угла A , и он равняется 45^{\circ} . Тогда AC делит \angle A , и \angle C на 2 угла по 45^{\circ} .
6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.
AO = BO = CO = DO
\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^{\circ}
AC = BD
Доказательство
Так как квадрат это прямоугольник \Rightarrow диагонали равны; так как — ромб \Rightarrow диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, \Rightarrow диагонали разделены точкой пересечения пополам.
7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
\triangle ABD = \triangle CBD = \triangle ABC = \triangle ACD
8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.
\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD
9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна a \sqrt{2} .
