Площади геометрических фигур - численные значения, характеризующие их размер в двумерном пространстве. Эта величина может измеряться в системных и внесистемных единицах. Так, например, внесистемная единица площади - сотка, гектар. Это в том случае, если измеряемой поверхностью является участок земли. Системная же единица площади - квадрат длины. В системе СИ принято считать, что единица площади плоской поверхности - это квадратный метр. В СГС единица площади выражается через квадратный сантиметр.
Геометрия и формулы площадей неразрывно связаны. Эта связь заключается в том, что вычисление площадей плоских фигур основывается именно на их применении. Для многих фигур выведены несколько вариантов, по которым вычисляются их квадратные размеры. Опираясь на данные из условия задачи, мы можем определить максимально простой способ для решения. Тем самым облегчить расчет и свести вероятность ошибки вычисления к минимуму. Для этого рассмотрим основные площади фигур в геометрии.
Формулы для нахождения площади любого треугольника представлены несколькими вариантами:
1) Площадь треугольника рассчитывается по основанию a и высоте h. Основанием считают сторону фигуры, на которую опущена высота. Тогда площадь треугольника:
2) Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается точно также, если гипотенузу считать основанием. Если же за основание принять катет, то площадь прямоугольного треугольника будет равна уменьшенному вдвое произведению катетов.
На этом формулы для вычисления площади любого треугольника не заканчиваются. Другое выражение содержит стороны a,b и синусоидальную функцию угла γ, заключенного между a и b. Значение синуса находится по таблицам. Также его можно узнать с помощью калькулятора. Тогда площадь треугольника:
По данному равенству тоже можно убедиться в том, что площадь прямоугольного треугольника определяется через длины катетов. Т.к. угол γ - прямой, поэтому площадь прямоугольного треугольника рассчитывается без умножения на функцию синуса.
3) Рассмотрим частный случай - правильный треугольник, у которого сторона a известна по условию или ее длина найдется при решении. О фигуре в задаче по геометрии больше ничего не известно. Тогда площадь как найти при этом условии? В этом случае применяется формула для площади правильного треугольника:
Прямоугольник
Как найти площадь прямоугольника и использовать при этом размеры сторон, имеющих общую вершину? Выражение для вычисления такое:
Если для вычисления площади прямоугольника требуется использовать длины диагоналей, то тогда понадобится функция синуса угла, образованного при их пересечении. Такая формула площади прямоугольника имеет вид:
Квадрат
Площадь квадрата определяют как вторую степень длины стороны:
Доказательство вытекает из определения, согласно которому квадратом называют прямоугольник. У всех сторон, образующих квадрат, одинаковые размеры. Поэтому вычисление площади такого прямоугольника сводится к перемножению одной на другую, т. е. ко второй степени стороны. И формула для вычисления площади квадрата примет искомый вид.
Площадь квадрата можно найти другим способом, например, если использовать диагональ:
Как вычислить площадь фигуры, которая образована частью плоскости, ограниченной окружностью? Для расчета площади формулы такие:
Параллелограмм
Для параллелограмма формула содержит линейные размеры стороны, высоты и математическое действие - умножение. Если же высота неизвестна, то тогда как найти площадь параллелограмма? Есть еще один способ вычисления. Потребуется определенное значение, которое примет тригонометрическая функция угла, образованного смежными сторонами, а также их длины.
Формулы площади параллелограмма таковы:
Ромб
Как найти площадь четырехугольника, называемого ромбом? Площадь ромба определяется с помощью простых математических действий с диагоналями. Доказательство опирается на тот факт, что отрезки диагоналей в d1 и d2 пересекаются под прямым углом. По таблице синусов видно, что для прямого угла данная функция равна единице. Поэтому площадь ромба рассчитывается так:
Еще площадь ромба может быть найдена другим способом. Доказать это тоже нетрудно, если учесть, что стороны его одинаковы по длине. Затем подставить их произведение в похожее выражение для параллелограмма. Ведь частным случаем именно этой фигуры является ромб. Здесь γ - внутренний угол ромба. Площадь ромба определяют так:
Трапеция
Как найти площадь трапеции через основания (a и b), если в задаче указаны их длины? Здесь без известного значения длины высоты h вычислить площадь такой трапеции не удастся. Т.к. эту величину содержит выражение для вычисления:
Квадратный размер прямоугольной трапеции тоже можно вычислить таким же способом. При этом учитывают, что в прямоугольной трапеции понятия высоты и боковой стороны объединены. Поэтому для прямоугольной трапеции нужно указывать вместо высоты длину боковой стороны.
Цилиндр и параллелепипед
Рассмотрим что нужно, чтобы рассчитать поверхность всего цилиндра. Площадь данной фигуры составляет пара кругов, называемых основаниями, и боковая поверхность. Окружности, образующие круги имеют длины радиусов, равные r. Для площади цилиндра имеет место такое вычисление:
Как найти площадь параллелепипеда, который состоит из трех пар граней? Его измерения совпадают с конкретной парой. Грани, находящиеся противоположно, имеют одинаковые параметры. Сначала находят S(1), S(2), S(3) - квадратные размеры неравных граней. Затем уже площадь поверхности параллелепипеда:
Кольцо
Две окружности с общим центром образуют кольцо. Они же ограничивают площадь кольца. При этом обе расчетные формулы учитывают размеры каждой окружности. Первая из них, вычисляющая площадь кольца, содержит больший R и меньший r радиусы. Чаще их называют внешним и внутренним. Во втором выражении площадь кольца рассчитывается через больший D и меньший d диаметры. Таким образом, площадь кольца по известным радиусам рассчитывают так:
Площадь кольца, с использованием длин диаметров, определяют следующим образом:
Многоугольник
Как найти площадь многоугольника, форма которого не является правильной? Общей формулы для площади таких фигур нет. Но если она изображена на координатной плоскости, например, это может быть клетчатая бумага, тогда как найти площадь поверхности в этом случае? Тут применяют способ, который не требует приблизительно измерить фигуру. Поступают так: если нашли точки, которые попадают в уголок клетки или имеют целые координаты, то учитывают только их. Чтобы затем выяснить, чему равна площадь, используют формулу, доказанную Пиком. Необходимо сложить количество точек, расположенных внутри ломаной линии с половиной точек, лежащих на ней, и вычесть единицу, т. е. вычисляется это таким образом:
где В,Г - количество точек, расположенных внутри и на всей ломаной линии соответственно.
Все формулы площади плоских фигур
Площадь равнобедренной трапеции
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
а - нижнее основание
b - верхнее основание
с - равные боковые стороны
α - угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности
R- радиус вписанной окружности
D- диаметр вписанной окружности
O- центр вписанной окружности
H- высота трапеции
α, β - углы трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d- диагональ трапеции
α,β- углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
c- боковая сторона
m- средняя линия трапеции
α, β - углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании,
(S):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
a - нижнее основание
b - верхнее основание
h - высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.
a, b, c- стороны треугольника
α, β, γ- противолежащие углы
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
Формула площади правильного многоугольника
a - сторона многоугольника
n - количество сторон
Площадь правильного многоугольника, (S):
Формула (Герона) площади треугольника через полупериметр (S):
Площадь равностороннего треугольника равна:
Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.
a - сторона треугольника
h – высота
Как вычислить площадь равнобедренного треугольника?
b - основание треугольника
a - равные стороны
h – высота
3. Формула площади трапеции через четыре стороны
a - нижнее основание
b - верхнее основание
c , d - боковые стороны
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
a - боковые стороны трапеции
c - нижнее основание
b - верхнее основание
d - диагональ
h - высота
Формула радиуса описанной окружности трапеции, (R)
найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
a, b - стороны треугольника
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника (R):
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
a - сторона шестиугольника
Радиус вписанной окружности в шестиугольник, (r):
Радиус вписанной окружности в ромб
r - радиус вписанной окружности
a - сторона ромба
D, d - диагонали
h - высота ромба
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
с - нижнее основание
b - верхнее основание
a - боковые стороны
h - высота
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
a, b - катеты треугольника
с - гипотенуза
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
a, b - стороны треугольника
Доказать, что площадь вписанного четырёхугольника равна
\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),
где р - полупериметр и а, b, с и d - стороны четырёхугольника.
Доказать, что площадь вписанного в круг четырёхугольника равна
1/2 (ab + cb) · sin α , где а, b, с и d - стороны четырёхугольника и α - угол между сторонами а и b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Читайте подробнее на FB.ru:
Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму пары противоположных углов:
где р – полупериметр четырёхугольника.
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты
а описанного (рис. 1.14, б) () – по формуле
Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:
Формула Пика
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.
Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:
где - площадь, r – число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника.
Эту формулу называют «формула Пика» - по имени математика, открывшего её в 1899 году.
Что такое площадь?
Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры (круг, квадрат, треугольник и т.д.), которая показывает ее размер. Площадь измеряется в квадратных сантиметрах, метрах и т.д. Обозначается буквой S (square).
Как найти площадь треугольника?
S = a · h
где a – длина основания, h – высота треугольника, проведенная к основанию.
Причем, основание не обязательно должно находиться снизу. Так тоже сойдет.
Если треугольник тупоугольный , то высота опускается на продолжение основания:
Если треугольник прямоугольный , то основанием и высотой являются его катеты:
2. Другая формула, которая является не менее полезной, но которую почему-то всегда забывают:
S = a · b · sinα
где a и b – две стороны треугольника, sinα – синус угла между этими сторонами.
Главное условие – угол берется между двумя известными сторонами.
3. Формула площади по трем сторонам (формула Герона):
S =
где a , b и с – стороны треугольника, а р – полупериметр. p = (a + b + c )/2.
4. Формула площади треугольника через радиус описанной окружности:
S =
где a , b и с – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.
5. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности:
S = p · r
где р – полупериметр треугольника, а r – радиус вписанной окружности.
Как найти площадь прямоугольника?
1. Площадь прямоугольника находится довольно-таки просто:
S = a · b
Никаких подвохов.
Как найти площадь квадрата?
1. Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то к нему применяется такая же формула:
S = a · a = a 2
2. Также площадь квадрата можно найти через его диагональ:
S = d 2
Как найти площадь параллелограмма?
1. Площадь параллелограмма находится по формуле:
S = a · h
Это связано с тем, что если от него отрезать прямоугольный треугольник справа и приставить его слева, получится прямоугольник:
2. Также площадь параллелограмма можно найти через угол между двумя сторонами:
S = a · b · sinα
Как найти площадь ромба?
Ромб по своей сути является параллелограммом, у которого все стороны равны. Поэтому для него применяются те же формулы площади.
1. Площадь ромба через высоту:
S = a · h
