При построении интервального ряда распределения решаются три вопроса:
- 1. Сколько надо взять интервалов?
- 2. Какова длина интервалов?
- 3. Каков порядок включения единиц совокупности в границы интервалов?
- 1. Количество интервалов можно определить по формуле Стер- джесса :
2. Длина интервала, или шаг интервала , обычно определяется по формуле
где R - размах вариации.
3. Порядок включения единиц совокупности в границы интервала
может быть разным, но при построении интервального ряда распределения обязательно строго определен.
Например, такой: [), при котором единицы совокупности в нижние границы включаются, а в верхние - не включаются, а переносятся в следующий интервал. Исключение в этом правиле составляет последний интервал , верхняя граница которого включает последнее число ранжированного ряда.
Границы интервалов бывают:
- закрытые - с двумя крайними значениями признака;
- открытые - с одним крайним значением признака (до такого-то числа или свыше такого-то числа).
С целью усвоения теоретического материала введем исходную информацию для решения сквозной задачи.
Имеются условные данные по среднесписочной численности менеджеров по продажам, количеству проданного ими однокачественного товара, индивидуальной рыночной цене на этот товар, а также объему продаж 30 фирм в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Исходная информация для сквозной задачи
|
Численность менеджеров, |
Цена, тыс. руб. |
Объем продаж, млн руб. |
||
|
Численность менеджеров, |
Количество проданного товара, шт. |
Цена, тыс. руб. |
Объем продаж, млн руб. |
|
На базе исходной информации, а также дополнительной сделаем постановку отдельных заданий. Затем представим методику их решения и сами решения.
Сквозная задача. Задание 2.1
Используя исходные данные табл. 2.1, требуется построить дискретный ряд распределения фирм по количеству проданного товара (табл. 2.2).
Решение:
Таблица 2.2
Дискретный ряд распределения фирм по количеству проданного товара в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года
Сквозная задача. Задание 2.2
требуется построить ранжированный ряд 30 фирм по среднесписочной численности менеджеров.
Решение:
15; 17; 18; 20; 20; 20; 22; 22; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 28; 29; 30; 32; 32; 33; 33; 33; 34; 35; 35; 38; 39; 39; 45.
Сквозная задача. Задание 2.3
Используя исходные данные табл. 2.1, требуется:
- 1. Построить интервальный ряд распределения фирм по численности менеджеров.
- 2. Рассчитать частости ряда распределения фирм.
- 3. Сделать выводы.
Решение:
Рассчитаем по формуле Стерджесса (2.5) количество интервалов :
Таким образом, берем 6 интервалов (групп).
Длину интервала , или шаг интервала , рассчитаем по формуле
Примечание. Порядок включения единиц совокупности в границы интервала такой: I), при котором единицы совокупности в нижние границы включаются, а в верхние - не включаются, а переносятся в следующий интервал. Исключение в этом правиле составляет последний интервал I ], верхняя граница которого включает последнее число ранжированного ряда.
Строим интервальный ряд (табл. 2.3).
Интервальный ряд распределения фирм но среднесписочной численности менеджеров в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года
Вывод. Наиболее многочисленной группой фирм является группа со среднесписочной численностью менеджеров 25- 30 человек, которая включает 8 фирм (27%); в самую малочисленную группу со среднесписочной численностью менеджеров 40-45 человек входит всего одна фирма (3%).
Используя исходные данные табл. 2.1, а также интервальный ряд распределения фирм по численности менеджеров (табл. 2.3), требуется построить аналитическую группировку зависимости между численностью менеджеров и объемом продаж фирм и на основании ее сделать вывод о наличии (или отсутствии) связи между указанными признаками.
Решение:
Аналитическая группировка строится по факторному признаку. В нашей задаче факторным признаком (х) является численность менеджеров, а результативным признаком (у) - объем продаж (табл. 2.4).
Построим теперь аналитическую группировку (табл. 2.5).
Вывод. На основании данных построенной аналитической группировки можно сказать, что с увеличением численности менеджеров по продажам средний в группе объем продаж фирмы также увеличивается, что свидетельствует о наличии прямой связи между указанными признаками.
Таблица 2.4
Вспомогательная таблица для построения аналитической группировки
|
Численность менеджеров, чел., |
Номер фирмы |
Объем продаж, млн руб., у |
|
|
» = 59 f = 9,97 |
|||
|
Я-™ 4 - Ю.22 |
|||
|
74 ’25 1ПЙ1 У4 = 7 = 10,61 |
|||
|
у = ’ =10,31 30 |
|||
Таблица 2.5
Зависимость объемов продаж от численности менеджеров фирм в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ- 1. В чем суть статистического наблюдения?
- 2. Назовите этапы статистического наблюдения.
- 3. Каковы организационные формы статистического наблюдения?
- 4. Назовите виды статистического наблюдения.
- 5. Что такое статистическая сводка?
- 6. Назовите виды статистических сводок.
- 7. Что такое статистическая группировка?
- 8. Назовите виды статистических группировок.
- 9. Что такое ряд распределения?
- 10. Назовите конструктивные элементы ряда распределения.
- 11. Каков порядок построения ряда распределения?
Располагая данные статистического наблюдения, характеризующих то или иное явление, прежде всего необходимо их упорядочить, т.е. придать характер системности
Английский статистик. УДжРейхман по поводу неупорядоченных совокупностей образно сказал, что столкнуться с массой необобщенных данных равнозначно ситуации, когда человека бросают в лесной чаще без компаса. Что же собой представляет систематизация статистических данных в виде рядов распределениялу?
Статистический ряд распределения - это упорядоченные статистические совокупности (табл. 17). Простейшим видом статистического ряда распределения ранжированном ряд, т.е. ряд чисел, находящейся в порядке возрастания ч или падения варьируя признаки. Такой ряд не позволяет судить о закономерности, заложенные в распределенных данных: у какой величины группируется большинство показателей, какие есть отклонения от этой величины; как а общая картина распределения. С этой целью группируют данные, показывая, как часто встречаются отдельные наблюдения в общем их числе (Схема 1а 1).
. Таблица 17
. Общий вид статистических рядов распределения
. Схема 1. Схемастатистичних рядов распределения
Распределение единиц совокупности по признакам, не имеют количественного выражения, называется атрибутивным рядом (например, распределение предприятий по их производственным направлением)
Ряды распределения единиц совокупности по признакам, имеют количественное выражение, называются вариационными рядами . В таких рядах значение признака (варианты) находятся в порядке возрастания или убывания
В вариационном ряде распределения различают два элемента: варианта и частота. Варианта - это отдельное значение группировочного признаки частота - число, которое показывает, сколько раз встречается каждый варианта
В математической статистике исчисляется еще один элемент вариационного ряда - частисть . Последняя определяется как отношение частоты случаев данного интервала к общей сумме частот частисть определяется в долях единицы, процентах (%) в промилле (% о)
Таким образом, вариационный ряд распределения - это такой ряд, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания, указаны их частоты или частости. Вариационные ряды бывают дискретные (переривни) и др. нтервальни (непрерывного).
. Дискретные вариационные ряды - это такие ряды распределения, в которых варианта как величина количественного признака может принимать только определенное значение. Варианты различаются между собой на одну или несколько единиц
Так, количество произведенных деталей за смену конкретным рабочим может выражаться только одним определенным числом (6, 10, 12 и тд). Примером дискретного вариационного ряда может быть распределение работников по к количеством произведенных деталей (табл 18 18).
. Таблица 18
. Дискретный ряд распределения _
. Интервальные (непрерывного) вариационные ряды - такие ряды распределения, в которых значение варианты даны в виде интервалов, т.е. значения признаков могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину. При построении вариационного ряда нэп переривнои признаки невозможно указать каждое значение варианты, поэтому совокупность распределяется по интервалам. Последние могут быть равны и неравны. Для каждого из них указываются частоты или частости (табл. 1 9 19).
В интервальных рядах распределения с неравными интервалами вычисляют такие математические характеристики, как плотность распределения и относительная плотность распределения на данном интервале. Первая характеристика определи ся отношением частоты до величины того же интервала, вторая - отношением частости к величине того же интервала. Для приведенного выше примера плотность распределения на первом интервале составит 3: 5 = 0,6, а относительная плотность на этом интервале - 7,5:5 = 1,55%.
. Таблица 19
. Интервальный ряд распределения _
Дискретный вариационный ряд строится для дискретный признаков.
Для того, чтобы построить дискретный вариационный ряд нужно выполнить следующие действия: 1) упорядочить единицы наблюдения по возрастанию изучаемого значения признака,
2) определить все возможные значения признака x i , упорядочить их по возрастанию,
значением признака, i .
частота значения признака и обозначают f i . Сумма всех частот ряда равна количеству элементов в изучаемой совокупности.
Пример 1 .
Список оценок полученных студентами на экзаменах: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.
Здесь число Х – оценка является дискретной случайной величиной, а полученный список оценок - статистические (наблюдаемые) данные .
упорядочить единицы наблюдения по возрастанию изучаемого значения признака:
2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.
2) определить все возможные значения признака x i , упорядочить их по возрастанию:
В данном примере все оценки можно разделить на четыре группы со следующими значениями: 2; 3; 4; 5.
Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе наблюдаемых данных, называют значением признака, вариантом (вариантой) и обознпчают x i .
Число, которое показывает, сколько раз встречается соответствующее значение признака в ряде наблюдений называют частота значения признака и обозначают f i .
Для нашего примера
оценка 2 встречается - 8 раз,
оценка 3 встречается - 12 раз,
оценка 4 встречается - 23 раза,
оценка 5 встречается - 17 раз.
Всего 60 оценок.
4) записать полученные данные в таблицу из двух строк (столбцов) - x i и f i .
На основании этих данных можно построить дискретный вариационный ряд
Дискретный вариационный ряд – это таблица, в которой указаны встречающиеся значения изучаемого признака как отдельные значения по возрастанию и их частоты
Построение интервального вариационного ряда
Кроме дискретного вариационного ряда часто встречается такой способ группировки данных, как интервальный вариационный ряд.
Интервальный ряд строится если:
признак имеет непрерывный характер изменения;
дискретных значений получилось очень много (больше 10)
частоты дискретных значений очень малы (не превышают 1-3 при относительно большем количестве единиц наблюдения);
много дискретных значений признака с одинаковыми частотами.
Интервальный вариационный ряд – это способ группировки данных в виде таблицы, которая имеет две графы (значения признака в виде интервала значений и частота каждого интервала).
В отличие от дискретного ряда значения признака интервального ряда представлены не отдельными значениями, а интервалом значений («от - до»).
Число, которое показывает, сколько единиц наблюдения попало в каждый выделенный интервал, называется частота значения признака и обозначают f i . Сумма всех частот ряда равна количеству элементов (единиц наблюдения) в изучаемой совокупности.
Если единица обладает значением признака, равным величине верхней границы интервала, то ее следует относить к следующему интервалу.
Например, ребёнок с ростом 100 см попадёт во 2-ой интервал, а не в первый; а ребёнок с ростом 130 см попадёт в последний интервал, а не в третий.
На основании этих данных можно построить интервальный вариационный ряд.
У каждого интервала есть нижняя граница (х н), верхняя граница (х в) и ширина интервала (i ).
Граница интервала – это значение признака, которое лежит на границе двух интервалов.
|
рост детей (см) |
рост детей (см) |
количество детей |
||
|
больше 130 | ||||
Если у интервала есть верхняя и нижняя граница, то он называется закрытый интервал . Если у интервала есть только нижняя или только верхняя граница, то это – открытый интервал. Открытым может быть только самый первый или самый последний интервал. В приведённом примере последний интервал – открытый.
Ширина интервала (i ) – разница между верхней и нижней границей.
i = х н - х в
Ширина открытого интервала принимается такой же, как ширина соседнего закрытого интервала.
|
рост детей (см) |
количество детей |
Ширина интервала (i) |
|
|
для расчётов 130+20=150 |
20 (потому что ширина соседнего закрытого интервала – 20) |
||
Все интервальные ряды делятся на интервальные ряды с равными интервалами и интервальные ряды с неравными интервалами. В интервальных рядах с равными интервалами ширина всех интервалов одинаковая. В интервальных рядах с неравными интервалами ширина интервалов разная.
В рассматриваемом примере - интервальный ряд с неравными интервалами.
Лабораторная работа №1
По математической статистике
Тема: Первичная обработка экспериментальных данных
3. Оценка в баллах. 1
5. Контрольные вопросы.. 2
6. Методика выполнения лабораторной работы.. 3
Цель работы
Приобретение навыков первичной обработки эмпирических данных методами математической статистики.
На основе совокупности опытных данных выполнить следующие задания:
Задание 1. Построить интервальный вариационный ряд распределения.
Задание 2. Построить гистограмму частот интервального вариационного ряда.
Задание 3. Составить эмпирическую функцию распределения и построить график.
а) моду и медиану;
б) условные начальные моменты;
в) выборочную среднюю;
г) выборочную дисперсию, исправленную дисперсию генеральной совокупности, исправленное среднее квадратичное отклонение;
д) коэффициент вариации;
е) асимметрию;
ж) эксцесс;
Задание 5. Определить границы истинных значений числовых характеристик, изучаемой случайной величины с заданной надёжностью.
Задание 6. Содержательная интерпретация результатов первичной обработки по условию задачи.
Оценка в баллах
Задания 1-5 – 6 баллов
Задание 6 – 2 балла
Защита лабораторной работы (устное собеседование по контрольным вопросам и лабораторной работе) - 2 балла
Работа сдается в письменной форме на листах формата А4 и включает:
1) Титульный лист (Приложение 1)
2) Исходные данные.
3) Представление работы по указанному образцу.
4) Результаты расчетов (выполненные вручную и/или с помощью MS Excel) в указанном порядке.
5) Выводы - содержательная интерпретация результатов первичной обработки по условию задачи.
6) Устное собеседование по работе и контрольным вопросам.
5. Контрольные вопросы
Методика выполнения лабораторной работы
Задание 1. Построить интервальный вариационный ряд распределения
Для того, чтобы статистические данные представить в виде вариационного ряда с равноотстоящими вариантами необходимо:
1.В исходной таблице данных найти наименьшее и наибольшее значения.
2.Определить размах варьирования :
3. Определить длину интервала h, если в выборке до 1000 данных, используют формулу: 
, где n – объем выборки – количество данных в выборке; для вычислений берут lgn).
Вычисленное отношение округляют до удобногоцелого значения .
4. Определить начало первого интервала для четного числа интервалов рекомендуют брать величину ; а для нечетного числа интервалов .
5. Записать интервалы группировок и расположить их в порядке возрастания границ
, 
,………., ,
где - нижняя граница первого интервала. За берется удобное число не большее , верхняя граница последнего интервала должна быть не меньше . Рекомендуется, чтобы интервалы содержали в себе исходные значения случайной величины и выделять от 5 до 20 интервалов.
6. Записать исходные данные по интервалам группировок, т.е. подсчитать по исходной таблице число значений случайной величины, попадающих в указанные интервалы. Если некоторые значения совпадают с границами интервалов, то их относят либо только к предыдущему, либо только к последующему интервалу.
Замечание 1. Интервалы необязательно брать равными по длине. На участках, где значения располагаются гуще, удобнее брать более мелкие короткие интервалы, а там где реже - более крупные.
Замечание 2 .Если для некоторых значений получены “нулевые”, либо малые значения частот , то необходимо перегруппировать данные, укрупняя интервалы (увеличивая шаг ).
Группировка – это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку.Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора Вы сможете:
- построить вариационный ряд , построить гистограмму и полигон;
- найти показатели вариации (среднюю, моду (в т.ч. и графическим способом), медиану, размах вариации, квартили, децили, квартильный коэффициент дифференциации, коэффициент вариации и другие показатели);
Инструкция . Для группировки ряда необходимо выбрать вид получаемого вариационного ряда (дискретный или интервальный) и указать количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример группировки статистических данных).
Если группировка уже осуществлена и заданы дискретный вариационный ряд или интервальный ряд , то необходимо воспользоваться онлайн-калькулятором Показатели вариации . Проверка гипотезы о виде распределения производится с помощью сервиса Изучение формы распределения .
Виды статистических группировок
Вариационный ряд . В случае наблюдений дискретной случайной величины одно и то же значение можно встретить несколько раз. Такие значения x i случайной величины записывают с указанием n i числа раз его появления в n наблюдениях, это и есть частота данного значения.В случае непрерывной случайной величины на практике применяют группировку.
- Типологическая группировка – это разделение исследуемой качественно разнородной совокупности на классы, социально–экономические типы, однородные группы единиц. Для построения данной группировки используйте параметр Дискретный вариационный ряд.
- Структурной называется группировка , в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому–либо варьирующему признаку. Для построения данной группировки используйте параметр Интервальный ряд.
- Группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками, называется аналитической группировкой (см. аналитическая группировка ряда).
Принципы построения статистических группировок
Ряд наблюдений, упорядоченных по возрастанию, называется вариационным рядом . Группировочным признаком называется признак, по которому производится разбивка совокупности на отдельные группы. Его называют основанием группировки. В основание группировки могут быть положены как количественные, так и качественные признаки.После определения основания группировки следует решить вопрос о количестве групп, на которые надо разбить исследуемую совокупность.
При использовании персональных компьютеров для обработки статистических данных группировка единиц объекта производится с помощью стандартных процедур.
Одна из таких процедур основана на использовании формулы Стерджесса для определения оптимального числа групп:
k = 1+3,322*lg(N)
Где k – число групп, N – число единиц совокупности.
Длину частичных интервалов вычисляют как h=(x max -x min)/k
Затем подсчитывают числа попаданий наблюдений в эти интервалы, которые принимают за частоты n i . Малочисленные частоты, значения которых меньше 5 (n i < 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В качестве новых значений вариант берут середины интервалов x i =(c i-1 +c i)/2.
