Внутри угла, равноудалённых от сторон угла.
Мнемоническое правило
Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам .
Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :- Словарь терминов планиметрии
- Вписанная окружность
Смотреть что такое "Биссектриса" в других словарях:
биссектриса - ы, ж. bissectrice f. матем. Прямая линия, проходящая через вершину угла и делящая ее пополам. БАС 2. Чертить биссектрису. Васюкова 1999. Биссектриса это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. 1994. Белянин. Лекс. Брокг.… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
биссектриса - математичка, линия, прямая Словарь русских синонимов. биссектриса сущ., кол во синонимов: 3 линия (182) … Словарь синонимов
БИССЕКТРИСА - (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его пополам … Большой Энциклопедический словарь
БИССЕКТРИСА - [исе], биссектрисы, жен. (от лат. bissectrix секущая поперек) (мат.). 1. В угле прямая линия, делящая угол пополам. 2. В треугольнике прямая линия, проведенная от какого нибудь угла к противоположной стороне и делящая эту сторону на части, прямо… … Толковый словарь Ушакова
БИССЕКТРИСА - БИССЕКТРИСА, ы, жен. В математике: луч (в 3 знач.), исходящий из вершины угла и делящий его пополам. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
биссектриса - БИССЕКТРИСА, ы, ж. Учительница математики в школе. Из шк … Словарь русского арго
биссектриса - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN mean line … Справочник технического переводчика
БИССЕКТРИСА - луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам; любая точка Б. равно удалена от сторон угла. Три Б. углов треугольника пересекаются в одной очке центре вписанной в треугольник окружности … Большая политехническая энциклопедия
биссектриса - (фр. bissectrice лат. bis sectrix (bissectricis) надвое рассекающая) геом. луч, проходящий через вершину угла в делящий его пополам. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, 2009. биссектриса [исе], биссектрисы, ж. [от латин. bissectrix –… … Словарь иностранных слов русского языка
биссектриса - ы; ж. [франц. bissectrice от лат. bis дважды и secare рассекать] Матем. Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. * * * биссектриса (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла, полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его … Энциклопедический словарь
Книги
- Биссектриса – это такая крыса… , Наталья Цитронова. Первая книга автора – рассказы и эссе о лихих девяностых годах… Написано легко, с юмором, без кровавых и постельных сцен…
Биссектриса - это линия, которая делит угол пополам.
Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.
1. Биссектриса в равнобедренном треугольнике.
Не боишься слова «теорема»? Если боишься, то - зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.
Так вот, внимание, теорема!
Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный.
Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что
- - общая.
А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что.
Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников.
А вот теперь посмотрим. Раз, то совершенно точно и даже вдобавок, .
Вот и получилось, что
- разделила сторону пополам, то есть оказалась медианой
- , а значит, они оба по, так как (глянь ещё раз на рисунок).
Вот и оказалась биссектриса и высотой тоже!
Ура! Доказали теорему. Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:
Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!
А если неинтересно, то твердо запомни:
Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь? А вот представь, что у тебя задача:
Дано: .
Найти: .
Ты тут же соображаешь, биссектриса и, о чудо, она разделила сторону пополам! (по условию…). Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что и значит, пишешь ответ: . Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!
А теперь следующее свойство. Готов?
2. Биссектриса угла - геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса - геометрическое место точек »? А это значит, что выполняются сразу два утверждения:
- Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
- Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.
Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: "Так ты еще чего доброго скажешь, будто "Я вижу то, что ем" и "Я ем то, что вижу", - одно и то же!"
Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: "биссектриса - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла" будет доказано!
Почему же верно 1?
Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её .
Опустим из этой точки перпендикуляры и на стороны угла.
А теперь …приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел .
Итак…два прямоугольных треугольника: и. У них:
- Общая гипотенуза.
- (потому что - биссектриса!)
Значит, - по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников - равны! То есть.
Доказали, что точка одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.
Почему же верно 2?
И соединим точки и.
Значит, то есть лежит на биссектрисе!
Вот и всё!
Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.
То быстро соображаешь, что
И можно пользоваться равенством.
3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке
Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:
Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?
А третья биссектриса могла бы пройти так:
Но на самом деле-то всё гораздо лучше!
Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её .
Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1 , конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.
Вот и получилось и.
Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что и, значит, .
А вот теперь в дело пойдёт пункт 2 : если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:
и - расстояния до сторон угла, и они равны, значит, точка лежит на биссектрисе угла. Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок -
Радиусы вписанной окружности.
(Для верности посмотри ещё тему ).
Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:
Точка пересечения биссектрис треугольника - центр вписанной в неё окружности.
Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.
4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов
Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,
Случай 1
Здорово, правда? Давай поймём, почему так.
С одной стороны, - мы же проводим биссектрису!
Но, с другой стороны, - как накрест лежащие углы (вспоминаем тему ).
И теперь выходит, что; выкидываем середину: ! - равнобедренный!
Случай 2
Представь треугольник (или посмотри на картинку)
Давай продолжим сторону за точку. Теперь получилось два угла:
- - внутренний угол
- - внешний угол - он же снаружи, верно?
Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для, и для. Что же получится?
А получится прямоугольный!
Удивительно, но это именно так.
Разбираемся.
Как ты думаешь, чему равна сумма?
Конечно же, - ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая.
А теперь вспомним, что и -биссектрисы и увидим, что внутри угла находится ровно половина от суммы всех четырех углов: и - - то есть ровно. Можно написать и уравнением:
Итак, невероятно, но факт:
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен.
Случай 3
Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?
Или ещё раз подумаем, почему так получается?
Снова, как и для смежных углов,
(как соответственные при параллельных основаниях).
И опять, составляют ровно половину от суммы
Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.
5. Биссектриса и противоположная сторона
Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:
То есть:
Удивительный факт, не правда ли?
Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.
Снова - выход в «космос» - дополнительное построение!
Проведём прямую.
Зачем? Сейчас увидим.
Продолжим биссектрису до пересечения с прямой.
Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 - получается, что (- биссектриса)
Как накрест лежащие
Значит, - это тоже.
А теперь посмотрим на треугольники и.
Что про них можно сказать?
Они…подобны. Ну да, у них и углы равны как вертикальные. Значит, по двум углам.
Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.
А теперь в коротких обозначениях:
Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!
Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» - построение дополнительной прямой - без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что
Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника - не пугайся, теперь самое сложное кончилось - будет проще.
Получаем, что
Это знание можно применить в тех задачах, где участвуют две биссектрисы и дан лишь угол, а искомые величины выдерживаются через или, наоборот, дан, а нужно найти что-то с участием угла.
Основные знания о биссектрисе закончились. Комбинируя эти факты, ты найдёшь ключ к любой задаче о биссектрисе!
БИССЕКТРИСА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Теорема 1:
Теорема 2:
Теорема 3:
Теорема 4:
Теорема 5:
Теорема 6:
Внутри угла, равноудалённых от сторон угла.
Мнемоническое правило
Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам .
Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Смотреть что такое "Биссектриса" в других словарях:
биссектриса - ы, ж. bissectrice f. матем. Прямая линия, проходящая через вершину угла и делящая ее пополам. БАС 2. Чертить биссектрису. Васюкова 1999. Биссектриса это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. 1994. Белянин. Лекс. Брокг.… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Математичка, линия, прямая Словарь русских синонимов. биссектриса сущ., кол во синонимов: 3 линия (182) … Словарь синонимов
- (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его пополам … Большой Энциклопедический словарь
- [исе], биссектрисы, жен. (от лат. bissectrix секущая поперек) (мат.). 1. В угле прямая линия, делящая угол пополам. 2. В треугольнике прямая линия, проведенная от какого нибудь угла к противоположной стороне и делящая эту сторону на части, прямо… … Толковый словарь Ушакова
БИССЕКТРИСА, ы, жен. В математике: луч (в 3 знач.), исходящий из вершины угла и делящий его пополам. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
биссектриса - БИССЕКТРИСА, ы, ж. Учительница математики в школе. Из шк … Словарь русского арго
биссектриса - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN mean line … Справочник технического переводчика
БИССЕКТРИСА - луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам; любая точка Б. равно удалена от сторон угла. Три Б. углов треугольника пересекаются в одной очке центре вписанной в треугольник окружности … Большая политехническая энциклопедия
- (фр. bissectrice лат. bis sectrix (bissectricis) надвое рассекающая) геом. луч, проходящий через вершину угла в делящий его пополам. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, 2009. биссектриса [исе], биссектрисы, ж. [от латин. bissectrix –… … Словарь иностранных слов русского языка
Ы; ж. [франц. bissectrice от лат. bis дважды и secare рассекать] Матем. Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. * * * биссектриса (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла, полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его … Энциклопедический словарь
Книги
- Биссектриса – это такая крыса… , Наталья Цитронова. Первая книга автора – рассказы и эссе о лихих девяностых годах… Написано легко, с юмором, без кровавых и постельных сцен…
Геометрия - одна из самых сложных и запутанных наук. В ней то, что кажется на первый взгляд очевидным, очень редко оказывается правильным. Биссектрисы, высоты, медианы, проекции, касательные - огромное количество действительно непростых терминов, запутаться в которых очень легко.
На самом деле при должном желании можно разобраться в теории любой сложности. Когда дело заходит о биссектрисе, медиане и высоте, нужно понимать, что они свойственны не только треугольникам. На первый взгляд это простые линии, но у каждой из них есть свои свойства и функции, знание которых существенно упрощает решение геометрических задач. Итак, что же такое биссектриса треугольника?
Определение
Сам термин "биссектриса" происходит из сочетания латинских слов "два" и "сечь", "резать", что уже косвенно указывает на её свойства. Обычно, когда детей знакомят с этим лучом, им предлагается для запоминания коротенькая фраза: «Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам». Естественно, такое объяснение не подойдёт для школьников старшего возраста, к тому же у них обычно спрашивают не об угле, а о геометрической фигуре. Так что биссектриса треугольника - это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части. Точка противоположной стороны, в которую приходит биссектриса, для произвольного треугольника выбирается случайным образом.
Базовые функции и свойства
Основных свойств у этого луча немного. Во-первых, из-за того, что биссектриса треугольника делит угол напополам, любая точка, лежащая на ней, будет находиться на равном расстоянии от сторон, образующих вершину. Во-вторых, в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы, по числу имеющихся углов (следовательно, в том же четырёхугольнике их будет уже четыре и так далее). Точка, в которой все три луча пересекутся, является центром окружности, вписанной в треугольник.
Свойства усложняются
Немного усложним теорию. Ещё одно интересное свойство: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, отношение которых равно отношению образующих вершину сторон. На первый взгляд это сложно, но на самом деле всё просто: на предложенном рисунке RL:LQ = PR:PK. Кстати, это свойство получило название "Теорема о биссектрисе" и впервые появилось ещё в работах древнегреческого математика Евклида. Вспомнили его в одном из российских учебников только в первой четверти семнадцатого века.
Ещё чуть сложнее. В четырёхугольнике биссектриса отсекает равнобедренный треугольник. На этом рисунке обозначены все равные углы для медианы AF.
А ещё в четырёхугольниках и трапециях биссектрисы односторонних углов перпендикулярны друг другу. На представленном чертеже угол APB составляет 90 градусов.
В равнобедренном треугольнике
Биссектриса равнобедренного треугольника - гораздо более полезный луч. Она одновременно является не только делителем угла напополам, но и медианой, и высотой.
Медиана - это отрезок, который выходит из какого-то угла и падает на середину противолежащей стороны, разделяя её тем самым на равные части. Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону, именно с её помощью любую задачу можно свести к простой и примитивной теореме Пифагора. В данной ситуации биссектриса треугольника равна корню из разности квадрата гипотенузы и другого катета. Кстати, именно это свойство встречается в геометрических задачах чаще всего.
Для закрепления: в данном треугольнике биссектриса FB является медианой (AB=BC) и высотой (углы FBC и FBA составляют 90 градусов).
В общих чертах
Итак, что же нужно запомнить? Биссектриса треугольника - это луч, который делит его вершину пополам. На пересечении трёх лучей находится центр окружности, вписанной в данный треугольник (единственный минус этого свойства в том, что оно не имеет практической ценности и служит только для грамотного выполнения чертежа). Она же делит противолежащую сторону на отрезки, отношение которых равно отношению сторон, между которыми прошёл этот луч. В четырёхугольнике свойства чуть усложняются, но, признаться, они практически не встречаются в задачах школьного уровня, поэтому обычно не затрагиваются в программе.
Биссектриса равнобедренного треугольника - предел мечтаний любого школьника. Она одновременно является и медианой (то есть делит противолежащую сторону пополам), и высотой (перпендикулярна этой стороне). Решение задач с такой биссектрисой сводится к теореме Пифагора.
Знание базовых функций биссектрисы, а также основных её свойств необходимо для решения геометрических задач как среднего, так и высокого уровня сложности. На самом деле встречается этот луч только в планиметрии, так что нельзя говорить о том, что зазубривание информации о нём позволит справляться со всеми типами заданий.
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.
Свойства биссектрисы
1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.
2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()
3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в этот треугольник окружности.
Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
(доказательство формулы – )
, где
- длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
- стороны треугольника против вершин соответственно,
- длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
Приглашаю посмотреть видеоурок , в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.
Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1
Возможно, вам будет интересен и небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы
