Статья рассказывает о нахождении угла между плоскостями. После приведения определения зададим графическую иллюстрацию, рассмотрим подробный способ нахождения методом координат. Получим формулу для пересекающихся плоскостей, в которую входят координаты нормальных векторов.
Yandex.RTB R-A-339285-1
В материале будут использованы данные и понятия, которые ранее были изучены в статьях про плоскость и прямую в пространстве. Для начала необходимо перейти к рассуждениям, позволяющим иметь определенный подход к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.
Заданы две пересекающиеся плоскости γ 1 и γ 2 . Их пересечение примет обозначение c . Построение плоскости χ связано с пересечением этих плоскостей. Плоскость χ проходит через точку М в качестве прямой c . Будет производиться пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 с помощью плоскости χ . Принимаем обозначения прямой, пересекающей γ 1 и χ за прямую a , а пересекающую γ 2 и χ за прямую b . Получаем, что пересечение прямых a и b дает точку M .
Расположение точки M не влияет на угол между пересекающимися прямыми a и b , а точка M располагается на прямой c , через которую проходит плоскость χ .
Необходимо построить плоскость χ 1 с перпендикулярностью к прямой c и отличную от плоскости χ . Пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 с помощью χ 1 примет обозначение прямых а 1 и b 1 .
Видно, что при построении χ и χ 1 прямые a и b перпендикулярны прямой c , тогда и а 1 , b 1 располагаются перпендикулярно прямой c . Нахождение прямых a и а 1 в плоскости γ 1 с перпендикулярностью к прямой c , тогда их можно считать параллельными. Таки же образом расположение b и b 1 в плоскости γ 2 с перпендикулярностью прямой c говорит об их параллельности. Значит, необходимо сделать параллельный перенос плоскости χ 1 на χ , где получим две совпадающие прямые a и а 1 , b и b 1 . Получаем, что угол между пересекающимися прямыми a и b 1 равен углу пересекающихся прямых a и b .
Рассмотрим не рисунке, приведенном ниже.
Данное суждение доказывается тем, что между пересекающимися прямыми a и b имеется угол, который не зависит от расположения точки M , то есть точки пересечения. Эти прямые располагаются в плоскостях γ 1 и γ 2 . Фактически, получившийся угол можно считать углом между двумя пересекающимися плоскостями.
Перейдем к определению угла между имеющимися пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 .
Определение 1
Углом между двумя пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 называют угол, образовавшийся путем пересечения прямых a и b , где плоскости γ 1 и γ 2 имеют пересечение с плоскостью χ , перпендикулярной прямой c .
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Определение может быть подано в другой форме. При пересечении плоскостей γ 1 и γ 2 , где c – прямая, на которой они пересеклись, отметить точку M , через которую провести прямые a и b , перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях γ 1 и γ 2 , тогда угол между прямыми a и b будет являться углом между плоскостями. Практически это применимо для построения угла между плоскостями.
При пересечении образуется угол, который по значению меньше 90 градусов, то есть градусная мера угла действительна на промежутке такого вида (0 , 90 ] . Одновременно данные плоскости называют перпендикулярнымив случае, если при пересечении образуется прямой угол. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
Обычный способ для нахождения угла между пересекающимися плоскостями – это выполнение дополнительных построений. Это способствует определять его с точностью, причем делать это можно с помощью признаков равенства или подобия треугольника, синусов, косинусов угла.
Рассмотрим решение задач на примере из задач ЕГЭ блока C 2 .
Пример 1
Задан прямоугольный параллелепипед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , где сторона А В = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7 , точка E разделяет сторону А А 1 в отношении 4: 3 . Найти угол между плоскостями А В С и В E D 1 .
Решение
Для наглядности необходимо выполнить чертеж. Получим, что
Наглядное представление необходимо для того, чтобы было удобней работать с углом между плоскостями.
Производим определение прямой линии, по которой происходит пересечение плоскостей А В С и В E D 1 . Точка B является общей точкой. Следует найти еще одну общую точку пересечения. Рассмотрим прямые D A и D 1 E , которые располагаются в одной плоскости A D D 1 . Их расположение не говорит о параллельности, значит, они имеют общую точку пересечения.
Однако, прямая D A расположена в плоскости А В С, а D 1 E в B E D 1 . Отсюда получаем, что прямые D A и D 1 E имеют общую точку пересечения, которая является общей и для плоскостей А В С и B E D 1 . Обозначает точку пересечения прямых D A и D 1 E буквой F . Отсюда получаем, что B F является прямой, по которой пересекаются плоскости А В С и В E D 1 .
Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Для получения ответа необходимо произвести построение прямых, расположенных в плоскостях А В С и В E D 1 с прохождением через точку, находящуюся на прямой B F и перпендикулярной ей. Тогда получившийся угол между этими прямыми считается искомым углом между плоскостями А В С и В E D 1 .
Отсюда видно, что точка A – проекция точки E на плоскость А В С. Необходимо провести прямую, пересекающую под прямым углом прямую B F в точке М. Видно, что прямая А М – проекция прямой Е М на плоскость А В С, исходя из теоремы о тех перпендикулярах A M ⊥ B F . Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.
∠ A M E - это искомый угол, образованный плоскостями А В С и В E D 1 . Из получившегося треугольника А Е М можем найти синус, косинус или тангенс угла, после чего и сам угол, только при известных двух сторонах его. По условию имеем, что длина А Е находится таким образом: прямая А А 1 разделена точкой E в отношении 4: 3 , то означает полную длину прямой – 7 частей, тогда А Е = 4 частям. Находим А М.
Необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник А В F . Имеем прямой угол A с высотой А М. Из условия А В = 2 , тогда можем найти длину A F по подобию треугольников D D 1 F и A E F . Получаем, что A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4
Необходимо найти длину стороны B F из треугольника A B F , используя теорему Пифагора. Получаем, что B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Длина стороны А М находится через площадь треугольника A B F . Имеем, что площадь может равняться как S A B C = 1 2 · A B · A F , так и S A B C = 1 2 · B F · A M .
Получаем, что A M = A B · A F B F = 2 · 4 2 5 = 4 5 5
Тогда можем найти значение тангенса угла треугольника А Е М. Получим:
t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5
Искомый угол, получаемый пересечением плоскостей А В С и B E D 1 равняется a r c t g 5 , тогда при упрощении получим a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .
Ответ: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .
Некоторые случаи нахождения угла между пересекающимися прямыми задаются при помощи координатной плоскости О х у z и методом координат. Рассмотрим подробней.
Если дана задача, где необходимо найти угол между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 , искомый угол обозначим за α .
Тогда заданная система координат показывает, что имеем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей γ 1 и γ 2 . Тогда обозначим, что n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z является нормальным вектором плоскости γ 1 , а n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - для плоскости γ 2 . Рассмотрим подробное нахождение угла, расположенного между этими плоскостями по координатам векторов.
Необходимо обозначить прямую, по которой происходит пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 буквой c . На прямой с имеем точку M , через которую проводим плоскость χ , перпендикулярную c . Плоскость χ по прямым a и b производит пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 в точке M . из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 равен углу пересекающихся прямых a и b , принадлежащих этим плоскостям соответственно.
В плоскости χ откладываем от точки M нормальные векторы и обозначаем их n 1 → и n 2 → . Вектор n 1 → располагается на прямой, перпендикулярной прямой a , а вектор n 2 → на прямой, перпендикулярной прямой b . Отсюда получаем, что заданная плоскость χ имеет нормальный вектор прямой a , равный n 1 → и для прямой b , равный n 2 → . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Отсюда получаем формулу, по которой можем вычислить синус угла пересекающихся прямых при помощи координат векторов. Получили, что косинусом угла между прямыми a и b то же, что и косинус между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 выводится из формулы cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , где имеем, что n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) и n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) являются координатами векторов представленных плоскостей.
Вычисление угла между пересекающимися прямыми производится по формуле
α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2
Пример 2
По условию дан параллелепипед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , где А В = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7 , а точка E разделяет сторону А А 1 4: 3 . Найти угол между плоскостями А В С и B E D 1 .
Решение
Из условия видно, что стороны его попарно перпендикулярны. Это значит, что необходимо ввести систему координат О х у z с вершиной в точке С и координатными осями О х, О у, О z . Необходимо поставить направление по соответствующим сторонам. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Пересекающиеся плоскости А В С и B E D 1 образуют угол, который можно найти по формуле α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , в которой n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) и n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) являются нормальными векторами этих плоскостей. Необходимо определить координаты. По рисунку видим, что координатная ось О х у совпадает в плоскостью А В С, это значит, что координаты нормального вектора k → равняются значению n 1 → = k → = (0 , 0 , 1) .
За нормальный вектор плоскости B E D 1 принимается векторное произведение B E → и B D 1 → , где их координаты находятся путем координат крайних точек В, Е, D 1 , которые определяются, исходя из условия задачи.
Получаем, что B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Потому как A E E A 1 = 4 3 , из координат точек A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 найдем E 2 , 3 , 4 . Получаем, что B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 · j → - 6 · k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)
Необходимо произвести подстановку найденных координат в формулу вычисления угла через арккосинус. Получаем
α = a r c cos 0 · 12 + 0 · (- 6) + 1 · (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 · 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6
Метод координат дает аналогичный результат.
Ответ: a r c cos 6 6 .
Завершающая задача рассматривается с целью нахождения угла между пересекающимися плоскостями при имеющихся известных уравнениях плоскостей.
Пример 3
Вычислить синус, косинус угла и значение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, которые определены в системе координат О х у z и заданы уравнениями 2 x - 4 y + z + 1 = 0 и 3 y - z - 1 = 0 .
Решение
При изучении темы общего уравнения прямой вида A x + B y + C z + D = 0 выявили, что А, В, С являются коэффициентами, равными координатам нормального вектора. Значит, n 1 → = 2 , - 4 , 1 и n 2 → = 0 , 3 , - 1 являются нормальным векторами заданных прямых.
Необходимо подставить координаты нормальных векторов плоскостей в формулу вычисления искомого угла пересекающихся плоскостей. Тогда получаем, что
α = a r c cos 2 · 0 + - 4 · 3 + 1 · (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210
Отсюда имеем, что косинус угла принимает вид cos α = 13 210 . Тогда угол пересекающихся прямых не является тупым. Подставив в тригонометрическое тождество, получаем, что значение синуса угла равняется выражению. Вычислим и получим, что
sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210
Ответ: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Рассмотрим две плоскости р 1 и р 2 с нормальными векторами n 1 и n 2 . Угол φ между плоскостями р 1 и р 2 выражается через угол ψ = \(\widehat{(n_1; n_2)}\) следующим образом: если ψ < 90°, то φ = ψ (рис. 202, а); если ψ > 90°, то ψ = 180° - ψ (рис. 202,6).
Очевидно, что в любом случае справедливо равенство
cos φ = |cos ψ|
Так как косинус угла между ненулевыми векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин, имеем
$$ cos\psi=cos\widehat{(n_1; n_2)}=\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1|\cdot |n_2|} $$
и, следовательно, косинус угла φ между плоскостями р 1 и р 2 может быть вычислен по формуле
$$ cos\phi=\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1|\cdot |n_2|} (1)$$
Если плоскости заданы общими уравнениями
А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0,
то за их нормальные векторы можно взять векторы n 1 = (A 1 ; B 1 ; С 1) и n 2 = (A 2 ; B 2 ; С 2).
Записав правую часть формулы (1) через координаты, получим
$$ cos\phi=\frac{|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|}{\sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}\sqrt{{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2}} $$
Задача 1. Вычислить угол между плоскостями
х - √2 y + z - 2 = 0 и х+ √2 y - z + 13 = 0.
В данном случае A 1 .=1, B 1 = - √2 , С 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2 , С 2 = - 1.
По формуле (2) получаем
$$ cos\phi=\frac{|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt2)^2+1^2}\sqrt{1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2}}=\frac{1}{2} $$
Следовательно, угол между данными плоскостями равен 60°.
Плоскости с нормальными векторами n 1 и n 2:
а) параллельны тогда и только тогда, когда векторы n 1 и n 2 коллинеарны;
б) перпендикулярны, тогда и только тогда, когда векторы n 1 и n 2 перпендикулярны, т. е. когда n 1 n 2 = 0.
Отсюда получаем.необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями.
Для того чтобы плоскости
А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \;\; (3)$$
В случае, если какой-либо из коэффициентов A 2 , B 2 , С 2 равен нулю, подразумевается, что равен нулю и соответствующий коэффициент A 1 , B 1 , С 1
Невыполнение хотя бы одного из этих двух равенств означает, что плоскости не параллельны, т. е. пересекаются.
Для перпендикулярности плоскостей
А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
А 1 А 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)
Задача 2. Среди следующих пар плоскостей:
2х + 5у + 7z - 1 = 0 и 3х - 4у + 2z = 0,
у - 3z + 1 = 0 и 2у - 6z + 5 = 0,
4х + 2у - 4z + 1 = 0 и 2х + у + 2z + 3 = 0
указать параллельные или перпендикулярные. Для первой пары плоскостей
А 1 А 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,
т. е. выполняется условие перпендикулярности. Плоскости перпендикулярны.
Для второй пары плоскостей
\(\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\), так как \(\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6} \)
а коэффициенты А 1 и А 2 равны нулю. Следовательно, плоскости второй пары параллельны. Для третьей пары
\(\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\), так как \(\frac{2}{1}\neq\frac{-4}{2} \)
и А 1 А 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, т. е. плоскости третьей пары не параллельны и не перпендикулярны.
При решении геометрических задач в пространстве часто встречаются такие, где необходимо рассчитать углы между разными пространственными объектами. В данной статье рассмотрим вопрос нахождения углов между плоскостями и между ними и прямой.
Прямая в пространстве
Известно, что совершенно любая прямая на плоскости может быть определена следующим равенством:
Здесь a и b - некоторые числа. Если представить тем же самым выражением прямую в пространстве, то получится уже плоскость, параллельная оси z. Для математического определения пространственной прямой применяют иной способ решения, чем в двумерном случае. Он заключается в использовании понятия "направляющий вектор".
Примеры решения задач на определение угла пересечения плоскостей
Зная, как найти между плоскостями угол, решим следующую задачу. Даны две плоскости, уравнения которых имеют вид:
3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0
Чему между плоскостями равен угол?
Чтобы ответить на вопрос задачи, вспомним, что коэффициенты, стоящие при переменных в уравнении плоскости общем, являются координатами вектора направляющего. Для указанных плоскостей имеем следующие координаты их нормалей:
n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)
Теперь найдем произведение скалярное этих векторов и их модули, имеем:
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30
Теперь можно подставить найденные числа в приведенную в предыдущем пункте формулу. Получаем:
α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o
Полученное значение соответствует острому углу пересечения плоскостей, указанных в условии задачи.
Теперь рассмотрим другой пример. Даны две плоскости:
Пересекаются ли они? Выпишем значения координат их направляющих векторов, посчитаем скалярное произведение их и модули:
n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18
Тогда угол пересечения равен:
α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .
Этот угол говорит о том, что плоскости не пересекаются, а являются параллельными. Тот факт, что они не совпадают друг с другом проверить просто. Возьмем для этого произвольную точку, принадлежащую первой из них, например, P(0; 3; 2). Подставим ее координаты во второе уравнение, получим:
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
То есть точка P принадлежит только первой плоскости.
Таким образом, две плоскости параллельными являются, когда таковыми будут их нормали.
Плоскость и прямая
В случае рассмотрения взаимного расположения между плоскостью и прямой существует несколько больше вариантов, чем с двумя плоскостями. Связан этот факт с тем, что прямая является одномерным объектом. Прямая и плоскость могут быть:
- взаимно параллельными, в этом случае плоскость не пересекает прямую;
- последняя может принадлежать плоскости, при этом она также будет параллельна ей;
- оба объекта могут пересекаться под некоторым углом.
Рассмотрим сначала последний случай, поскольку он требует введения понятия об угле пересечения.
Прямая и плоскость, значение угла между ними
Если плоскость прямая пересекает, то она называется наклонной по отношению к ней. Точку пересечения принято называть основанием наклонной. Чтобы определить между этими геометрическими объектами угол, необходимо опустить из любой точки прямой перпендикуляр на плоскость. Тогда точка пересечения перпендикуляра с плоскостью и место пересечения с ней наклонной образуют прямую. Последняя называется проекцией исходной прямой на рассматриваемую плоскость. Острый и проекцией ее является искомым.
Несколько запутанное определение угла между плоскостью и наклонной прояснит рисунок ниже.
Здесь угол ABO - это угол между AB прямой и a плоскостью.
Чтобы записать формулу для него, рассмотрим пример. Пусть имеется прямая и плоскость, которые описываются уравнениями:
(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0
Рассчитать искомый угол для этих объектов можно легко, если найти скалярное произведение между направляющими векторами прямой и плоскости. Полученный острый угол следует вычесть из 90 o , тогда он получается между прямой и плоскостью.
Рисунок выше демонстрирует описанный алгоритм нахождения рассматриваемого угла. Здесь β - это угол между нормалью и прямой, а α - между прямой и ее проекцией на плоскость. Видно, что их сумма равна 90 o .
Выше была представлена формула, дающая ответ на вопрос, как между плоскостями найти угол. Теперь приведем соответствующее выражение для случая прямой и плоскости:
α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))
Модуль в формуле позволяет вычислять только острые углы. Функция арксинуса появилась вместо арккосинуса благодаря использованию соответствующей формулы приведения между тригонометрическими функциями (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).
Задача: плоскость пересекает прямую
Теперь покажем, как работать с приведенной формулой. Решим задачу: необходимо вычислить угол между осью y и плоскостью, заданной уравнением:
Эта плоскость показана на рисунке.
Видно, что она пересекает оси y и z в точках (0; -12; 0) и (0; 0; 12) соответственно и параллельна оси x.
Направляющий вектор прямой y имеет координаты (0; 1; 0). Вектор, перпендикулярный заданной плоскости, характеризуется координатами (0; 1; -1). Применяем формулу для угла пересечения прямой и плоскости, получаем:
α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o
Задача: параллельная плоскости прямая
Теперь решим аналогичную предыдущей задачу, вопрос которой поставлен иначе. Известны уравнения плоскости и прямой:
x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)
Необходимо выяснить, являются ли эти геометрические объекты параллельными друг другу.
Имеем два вектора: направляющий прямой равен (0; 2; 2) и направляющий плоскости равен (1; 1; -1). Находим их скалярное произведение:
0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0
Полученный ноль говорит о том, что угол между этими векторами равен 90 o , что доказывает прямой и плоскости параллельность.
Теперь проверим, является эта прямая только параллельной или же еще и лежит в плоскости. Для этого следует выбрать произвольную точку на прямой и проверить, принадлежит ли она плоскости. Например, примем λ = 0, тогда точка P(1; 0; 0) прямой принадлежит. Подставляем в уравнение плоскости P:
Точка P плоскости не принадлежит, а значит, и вся прямая в ней не лежит.
Где важно знать углы между рассмотренными геометрическими объектами?
Приведенные выше формулы и примеры решения задач представляют собой не только теоретический интерес. Они часто применяются для определения важных физических величин реальных объемных фигур, например призмы или пирамиды. Важно уметь определить между плоскостями угол при расчете объемов фигур и площадей их поверхностей. При этом, если в случае прямой призмы можно не использовать эти формулы для определения указанных величин, то для любого вида пирамиды их применение оказывается неизбежным.
Ниже рассмотрим пример использования изложенной теории для определения углов пирамиды с квадратным основанием.
Пирамида и ее углы
Ниже рисунок демонстрирует пирамиду, в основании которой лежит квадрат со стороной а. Высота фигуры составляет h. Нужно найти два угла:
- между боковой поверхностью и основанием;
- между боковым ребром и основанием.
Чтобы решить поставленную задачу, сначала следует ввести систему координат и определить параметры соответствующих вершин. На рисунке показано, что начало координат совпадает с точкой в центре квадратного основания. В этом случае плоскость основания описывается уравнением:
То есть для любых x и y значение третьей координаты всегда равно нулю. Боковая плоскость ABC пересекает ось z в точке B(0; 0; h), а ось y в точке с координатами (0; a/2; 0). Ось x она не пересекает. Это означает, что уравнение плоскости ABC можно записать в виде:
y / (a / 2) + z / h = 1 или
2 * h * y + a * z - a * h = 0
Вектор AB¯ является боковым ребром. Координаты его начала и конца равны: A(a/2; a/2; 0) и B(0; 0; h). Тогда координаты самого вектора:
Мы нашли все необходимые уравнения и вектора. Теперь остается воспользоваться рассмотренными формулами.
Рассчитаем сначала в пирамиде угол между плоскостями основания и боковой стороны. Соответствующие нормальные вектора равны: n 1 ¯(0; 0; 1) и n 2 ¯(0; 2*h; a). Тогда угол составит:
α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))
Угол между плоскостью и ребром AB будет равен:
β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))
Остается подставить конкретные значения стороны основания a и высоты h, чтобы получить необходимые углы.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Использование метода координат при вычислении угла
между плоскостями
Наиболее общий метод нахождения угла между плоскостями - метод координат (иногда - с привлечением векторов). Его можно использовать тогда, когда испробованы все остальные. Но бывают ситуации, в которых метод координат имеет смысл применять сразу же, а именно тогда, когда система координат естественно связана с многогранником, указанным в условии задачи, т.е. явно просматриваются три попарно перпендикулярные прямые, на которых можно задать оси координат. Такими многогранниками являются прямоугольный параллелепипед и правильная четырехугольная пирамида. В первом случае система координат может быть задана выходящими из одной вершины ребрами (рис.1), во втором - высотой и диагоналями основания (рис. 2)
Применение метода координат состоит в следующем.
Вводится прямоугольная система координат в пространстве. Желательно ввести ее «естественным» образом - «привязать» к тройке попарно перпендикулярных прямых, имеющих общую точку.
Для каждой из плоскостей, угол между которыми ищется, составляется уравнение. Проще всего составить такое уравнение, зная координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой.
Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ах + By + Cz + D = 0.
Коэффициенты А, В, С в этом уравнении являются координатами нормального вектора плоскости (вектора, перпендикулярного плоскости). Определяем затем длины и скалярное произведение нормальных векторов к плоскостям, угол между которыми ищется. Если координаты этих векторов (А 1 , В 1 ; С 1 ) и (А 2 ; В 2 ; С 2 ), то искомый угол вычисляется по формуле
Замечание. Необходимо помнить, что угол между векторами (в отличие от угла между плоскостями) может быть тупым, и чтобы избежать возможной неопределенности, в числителе правой части формулы стоит модуль.
Решите методом координат такую задачу.
Задача 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка К - середина ребра AD, точка L - середина ребра CD. Чему равен угол между плоскостями А 1 KL и A 1 AD?
Решение . Пусть начало системы координат находится в точке А, а оси координат идут вдоль лучей AD, АВ, АА 1 (рис. 3). Ребро куба примем равным 2 (удобно делить пополам). Тогда координаты точек A 1 , К, L таковы: А 1 (0; 0; 2), К(1; 0; 0), L(2; 1; 0).
Рис. 3
Запишем уравнение плоскости А 1 К L в общем виде. Затем подставим в него координаты выбранных точек этой плоскости. Получим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:
Выразим коэффициенты А, В, С через D и придем к уравнению
Разделив обе его части на D (почему D = 0?) и домножив затем на -2, получим уравнение плоскости A 1 KL: 2х - 2 у + z - 2 = 0. Тогда нормальный вектор к этой плоскости имеет координаты (2: -2; 1) . Уравнение плоскости A 1 AD таково: y=0, а координаты нормального вектора к ней, например, (0; 2: 0) . Согласно приведенной выше формуле для косинуса угла между плоскостями получаем:
