Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов. Сумма углов треугольника. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Предварительные сведения

Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Теорема о сумме углов в треугольнике

Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.

Теорема 1

Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^\circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)

Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$

Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Следовательно

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Теорема доказана.

Теорема о внешнем угле треугольника

Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.

Определение 4

Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).

Рассмотрим теперь непосредственно теорему.

Теорема 2

Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).

По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следовательно,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.

Тогда, по теореме 1 будем получать

$α+α+α=180^\circ$

Ответ: все углы равняются по $60^\circ$.

Пример 2

Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^\circ$.

Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:

Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^\circ$, то возможны два случая:

    Угол, равный $100^\circ$ - угол при основании треугольника.

    По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим

    $∠2=∠3=100^\circ$

    Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^\circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.

    Угол, равный $100^\circ$ - угол между равными сторонами, то есть

    Вопрос открыт 08.04.2017 в 12:25

    Да___ Нет___
    2.В равнобедренном треугольнике углы при основании тупые.
    Да___ Нет___
    3.При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны
    соответственным углам.
    Да___ Нет___
    4.При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°.
    Да___ Нет___
    5.Внешний угол треугольника равен разности двух углов треугольника, не смежных с ним.
    Да___ Нет___
    6.Диагонали параллелограмма равны.
    Да___ Нет___
    7.Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
    Да___ Нет___
    8.Диагонали прямоугольника делят углы прямоугольника пополам.
    Да___ Нет___
    9.Медиана треугольника делит стороны треугольника в отношении 2:1, считая от вершины.
    Да___ Нет___
    10.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
    Да___ Нет___
    11.Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
    Да___ Нет___
    12.Треугольник, у которого квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон, прямоугольный.
    Да___ Нет___
    13.Четырехугольник, у которого две стороны параллельны,- трапеция.
    Да___ Нет___
    14.В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.
    Да___ Нет___
    15.Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла ромба.
    Да___ Нет___
    16.Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.
    Да___ Нет___
    17.Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
    Да___ Нет___
    18.Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
    Да___ Нет___
    19.Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
    Да___ Нет___
    20.Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - квадрат.
    Да___ Нет___
    21.Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований.
    Да___ Нет___
    22.Точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины её оснований лежат на одной прямой.
    Да___ Нет___
    23.Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
    Да___ Нет___
    24.Средняя линия трапеции равна полуразности ее оснований.
    Да___ Нет___
    25.Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия.
    Да___ Нет___
    26.Диаметр, перпендикулярный хорде, делит стягиваемые ею дуги пополам.
    Да___ Нет___
    27.Из двух хорд больше та,которая более удалена от центра.
    Да___ Нет___
    28.Радиус окружности в два раза больше диаметра.
    Да___ Нет___
    29.Прямая, имеющая с окружностью две общие точки,-касательная.
    Да___ Нет___
    30.Центр окружности вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
    Да___ Нет___
    31.Вершина вписанного угла лежит в центре окружности.
    Да___ Нет___
    32.Центры вписанной и описанной окружности равностороннего треугольника совпадают.
    Да___ Нет___
    33.В четырехугольник можно вписать окружность, если сумма противоположных углов равна 180°.
    Да___ Нет___
    34.Длина окружности равна ∏d, где d- диаметр окружности.
    Да___ Нет___
    35.Сумма углов многоугольника равна 180°:(n-2).
    Да___ Нет___
    36.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна катету, деленному на синус угла, противолежащего этому катету.
    Да___ Нет___
    37.Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
    Да___ Нет___
    38.Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в трех точках.
    Да___ Нет___
    39.точка пересечения биссектрис треугольника - центр окружности, описанной около этого треугольника.
    Да___ Нет___
    40.Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180°.
    Да___ Нет___

    Тип урока: изучение нового материала.

    Цели урока:

    Образовательные:

    • вместе с ребятами “открыть” и доказать теорему о сумме углов треугольника;
    • обобщить и систематизировать изученный материал по данной теме;
    • познакомить учащихся с историческим материалом по изучаемой теме;
    • привить интерес к математике посредством включения в урок игровых технологий;
    • сформировать навыки, умения в решении геометрических задач;

    Развивающие:

    • развить внимание, память, речь, логическое мышление, самостоятельность;
    • рассмотреть нескольких способов доказательства теоремы, обобщить с использованием элементов исследования, развить математическую речь;
    • сформировать умения сравнивать, обобщать факты и понятия;
    • развить сотрудничество при работе в парах.

    Воспитательные:

    • воспитывать стремление достигать поставленную цель; чувство ответственности, уверенности в себе, умение работать в коллективе;
    • воспитывать такие черты характера, как настойчивость, целеустремленность, трудолюбие и дисциплинированность;
    • привить навыки аккуратности при построении чертежей;
    • сформировать гуманные отношения на уроке.

    Оборудование: ПК, мультимедийное оборудование, планшеты, листы задания с домашней работой, картонные треугольники, раздаточный материал.

    Применяемые формы обучения: Фронтальная, индивидуальная работа учащихся и работа в парах. Для активизации внимания, воображения введены игровые моменты.

    Структура урока:

    1. Организация начала урока – 2 мин.
    2. Определение задач урока – 1 мин.
    3. Подготовка к основному этапу урока -5 мин.
    4. Актуализация ранее изученного материала – 4 мин.
    5. Ознакомление с новым материалом – 10 мин
    6. Физкультминутка – 1 мин
    7. Первичная проверка понимания – 5 мин.
    8. Усвоение знаний. Решение задач – 13 мин.
    9. Подведение итогов урока. Рефлексия – 2 мин.
    10. Информация о домашнем задании – 2 мин.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. На доске тема урока и высказывание:

    …Как для смертных истина ясна,
    Что в треугольник двум тупым не влиться.
    Данте А.

    2. Определение задач урока.

    Ребята, как вы думаете, о какой фигуре пойдет речь на этом уроке? Какие задачи урока?

    • “открыть” и доказать теорему о сумме углов треугольника;
    • научить решать задачи, применяя полученные знания.

    3. Подготовка к основному этапу урока.

    Сформулируйте определение треугольника. (Треугольник это геометрическая фигура, образования тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)

    Назовите элементы треугольника. (Углы, стороны, вершины.)

    Назовите названия треугольников по сторонам. (Равносторонний, равнобедренный, разносторонний.)

    Один из учащихся выбирает и показывает классу треугольники, заготовленные и лежащие на столе у учителя.

    Треугольники различаются и по углам. Попробуем назвать треугольники по углам. (Другой учащийся выбирает: остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольники.)

    Давайте ответим на ряд вопросов:

    Может ли треугольник иметь:

    1. два прямых угла;
    2. два тупых угла;
    3. один прямой и один тупой угол?

    К доске вызывается один ученик и выполняет следующие рисунки:

    Далее идет «коллективное обсуждение». Построенные лучи не пересекаются, значит, треугольник не получится. Сумма односторонних углов в первом случае равна 180°, во втором и третьем случае больше, чем 180°. В первом случае прямые параллельны, а во втором и третьем случае прямые расходятся. Делаем вывод: треугольники не могут иметь два прямых, два тупых. А также в треугольнике не может быть одновременно один тупой и один прямой углы. Слайд 3.

    Опять посмотрим на модели треугольников и сделаем вывод: в прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два угла острых, в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два острых, в остроугольном треугольнике все углы острые. Но теоретически мы на этот вопрос ответить не можем, пока не узнаем, чему равна сумма углов треугольника.

    Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. А как вы думаете, чему равна сумма углов любого треугольника? (Заслушать ответы). Давайте проверим, верны ли ваши предположения с помощью практической работы.

    Практическая работа (способствует актуализации знаний и навыков самопознания). (Работа в парах.) Слайды 4-5.

    У каждого из вас есть на парте по одному треугольнику разных цветов. Ребята, мы с вами измеряли углы и с помощью транспортира и находили их сумму еще в 5 классе. Сумма углов у всех получалась разная (так может получаться потому, что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).

    Я предлагаю найти сумму углов треугольника двумя другими способами: возьмите треугольники, которые лежат у вас на парте. Они желтого или розового цвета. Обозначьте углы треугольника числами 1, 2, 3.

    Учащиеся с желтыми треугольниками: оторвите два угла треугольника и приложите их к сторонам третьего угла так, чтобы все вершины были в одной точке. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.

    Учащиеся с розовыми треугольниками: сложите углы во внутрь треугольника. Заметим, что перегибать треугольник надо по прямой параллельной к стороне, того угла который мы будем сгибать первым, а данный угол должен касаться данной стороны. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.

    Чему равна градусная мера развернутого угла?

    К какому выводу мы пришли?

    Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

    Выполнив практическую работу, мы установили, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

    В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой.

    Какую теорему нам нужно доказать?

    Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

    4. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению новых знаний.

    Слайды 6-7.

    Прежде, чем доказать эту теорему решим две задачи устно они помогут нам при доказательстве теоремы:

    5. Этап усвоения новых знаний, умений, навыков.

    Слайды 8-9

    (Возможны три способа доказательства).

    Доказательство теоремы (развивает способность анализировать, обобщать и делать логические выводы, используя ранее изученный материал).

    Один учащийся доказывает теорему у доски, по ходу комментируя свои действия. Остальные учащиеся работают в тетрадях. В случае неточности, учитель проводит корректировку.

    Учитель: Что нам дано?

    Учащийся: Дан треугольник.

    Учитель: Постройте у себя в тетрадях произвольный треугольник и обозначьте его вершины А, В и С. Что требуется доказать?

    Учащийся: Что сумма углов треугольника равна 180°.

    Дано: ∆ ABC
    Доказать: A+B+C=180°

    План доказательства:
    1) Через вершину B проведем прямую DE || AC
    2) Доказать, что 4 =1 , 5 = 3
    3) Доказать, что если 4+2+5=180°, значит, 1+2+3=180° или в ∆ ABC A+B+C=180°

    Но такой способ доказательства не единственный. Первое доказательство было дано еще Пифагором (5 в. до н.э.) В первой книге «Начала» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Слайд 10.

    Ребята доказывают устно:

    Доказательство:
    1) Через вершину B проведем луч BD|| AC.
    2) 4и 3- накрест лежащие при BD||AC и секущей BC.
    3) BD|| AC и AB- секущая, то 1+ABD=180° – односторонние углы.
    4) тогда 1+2+4=180° , т.к 4=3 ,то 1+2+3=180° или A+B+C=180°

    Попробуйте доказать дома эту теорему, используя чертеж учеников Пифагора. (Ребятам раздается лист с чертежами всех трех доказательств на дом.) Слайд 11.

    6. Физкультминутка.

    Слайды 12-14.

    7. Закрепление изученного материала.

    Теперь, пользуясь теоремой, можно обосновать, почему в треугольнике не может быть двух прямых углов, двух тупых углов, двух углов, один из которых тупой, а другой прямой.

    Следствие из теоремы о сумме углов треугольника (выводится учащимися самостоятельно; это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее).

    В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .

    Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным . Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным . Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .

    Устная работа: (планшеты) Слайд 15.

    Ответьте на вопросы: Слайд 16.

    1. Если один из углов треугольника прямой, то какие будут два других угла?
    2. Если треугольник прямоугольный, то чему равна сумма острых углов треугольника?
    3. Если один из углов треугольника тупой, то чему равна сумма двух других углов треугольника?

      4. 9. Задание на дом.

      1. Раздаточный маериал: три чертежа для доказательства. (приложение 1 )
      2. П. 30-31, стр. 70, №223(а,б), 224, 225, 230

      10. Итог урока.

      Рефлексия:

      Продолжите фразу:

    • “Сегодня на уроке я узнал…”
    • “Сегодня на уроке я научился…”
    • “Сегодня на уроке я познакомился…”
    • “Сегодня на уроке я повторил…”
    • “Сегодня на уроке я закрепил…”

    “Скажи мне – и я забуду,
    Покажи мне – и я запомню,
    Вовлеки меня – и я научусь”
    Восточная пословица

    Цель: Доказать теорему о сумме углов треугольника, упражнять в решении задач, используя данную теорему, развивать познавательную деятельность учащихся, используя дополнительный материал из разных источников, воспитывать умение слушать других.

    Оборудование: Транспортир, линейка, модели треугольников, полоска настроения.

    ХОД УРОКА

    1. Организационный момент.

    Отметьте на ленте настроения свое состояние на начало урока.

    2. Повторение.

    Повторить понятия, которые будут использованы при доказательстве теоремы: свойства углов при параллельных прямых, определение развернутого угла, градусная мера развернутого угла.

    3. Новый материал.

    3.1. Практическая работа.

    У каждого ученика находятся три модели треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Предлагается измерить углы треугольника и найти их сумму. Проанализировать результат. Могут получиться значения 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 градуса. Посчитайте среднее арифметическое (=180°) Предлагается вспомнить, когда углы имеют градусную меру 180 градусов. Ученики вспоминают, что это развернутый угол и сумма односторонних углов.

    Давайте попробуем получить сумму углов треугольника используя оригами.

    Историческая справка

    Оригами (яп., букв.: “сложенная бумага”) - древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.

    3.2. Доказательство теоремы из учебника Атанасяна Л.С.

    Теорема о сумме углов треугольника.

    Докажем одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.

    Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

    Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что A + B + C= 180°.

    Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому угол 4 равен углу 1, угол 5 равен углу 3.

    Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. угол 4+угол 2+угол 5=180°. Отсюда, учитывая предыдущие равенства, получаем: угол 1 + угол 2+ угол 3= 180°, или A + B+ C=180°. Теорема доказана.

    3.3. Доказательство теоремы из учебника Погорелова А. В.

    Доказать: A + B + C = 180 °

    Доказательство:

    1. Проведем через вершину B прямую BD // AC

    2. DBC=ACB, как накрест лежащие при AC//BD и секущей BC.

    3. ABD =ACB +CBD

    Отсюда, A + B+C = ABD+BAC

    4. ABD и BAC – односторонние при BD // AC и секущей AB, значит их сумма равна 180 ° , т.е. А+B + C=180 ° , что и требовалось доказать.

    3. 4. Доказательство теоремы из учебника Киселева А.Н., Рыбкина Н.А.

    Дано: АВС

    Доказать: А+B +C=180 °

    Доказательство:

    1. Продолжим сторону АС. Проведем СЕ//АВ

    2. А=ЕСД, как соответственные при АВ//СЕ и АД - секущей

    3. В=ВСЕ, как накрест лежащие при АВ//СЕ и ВС - секущей.

    4. ЕСД+ВСЕ+С=180 ° , значит А + В + С = 180 ° , что и требовалось доказать.

    3.5. Следствия 1. В любом треугольнике все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или прямой.

    Следствие 2.

    Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

    3.6. Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.

    Вид треугольника Равнобедренный Равносторонний Разносторонний
    прямоугольный
    тупоугольный
    остроугольный

    4. Закрепление.

    4.1. Решение задач по готовым чертежам.

    Найти неизвестные углы треугольника.

    4.2. Проверка знаний.

    1. В завершении нашего урока, ответьте на вопросы:

    Существуют ли треугольники с углами:

    а) 30, 60, 90 градусов,

    b) 46, 4, 140 градусов,

    с) 56, 46, 72 градуса?

    2. Может ли в треугольнике быть:

    а) два тупых угла,

    b) тупой и прямой углы,

    с) два прямых угла?

    3. Определить вид треугольника, если один угол – 45 градусов, другой – 90 градусов.

    4. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном, тупоугольном или прямоугольном?

    5. Можно ли измерить углы любого треугольника?

    Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы. (Приложение 1)

    5. Итог урока.

    Отметьте на ленте настроения свое состояние на конец урока.

    Домашнее задание.

    П. 30–31; № 223 а, б; № 227 а; рабочая тетрадь № 116, 118.

    Вдогонку ко вчерашнему:

    Играем с мозаикой под сказку по геометрии:

    Жили-были треугольники. Такие похожие, что просто копия друг друга.
    Стали они как-то рядышком на прямую линию. А так как были они все одного роста -
    то и верхушки их были на одном уровне, под линеечку:

    Треугольники любили кувыркаться и стоять на голове. Взобрались в верхний ряд и стали на уголок, как акробаты.
    А мы уже знаем - когда они стоят верхушками ровно в линию,
    то и подошвы у них тоже по линеечке - потому что если кто одного роста, то он и верх ногами одного роста!

    Во всем они были одинаковые - и высота одинаковая, и подошвы один в один,
    и горки по сторонам - одна круче, другая более пологая - по длине одинаковые
    и наклон у них одинаковый. Ну просто близнецы! (только в разных одежках, у каждого свой кусочек пазла) .

    - Где у треугольников одинаковые стороны? А где уголки одинаковые?

    Постояли треугольники на голове, постояли, да и решили соскользнуть и улечься в нижнем ряду.
    Заскользили и съехали как с горки; а горки-то у них одинаковые!
    Вот и поместились аккурат между нижними треугольниками, без зазоров и никто никого не потеснил.

    Огляделись треугольники и заметили интересную особенность.
    Везде, где их углы вместе сошлись - непременно встретились все три угла:
    самый большой - "угол-голова", самый острый угол и третий, средний по величине угол.
    Они даже ленточки цветные повязали, что б сразу было заметно, где какой.

    И получилось, что три угла треугольника, если их совместить -
    составляют один большой угол, "угол нараспашку" - как обложка раскрытой книги,

    ______________________о ___________________

    он так и называется: развернутый угол.

    У любого треугольника - будто паспорт: три угла вместе равны развернутому углу.
    Постучится к вам кто-нибудь: - тук-тук, я треугольник, пустите меня переночевать!
    А вы ему - Предъяви-ка сумму углов в развернутом виде!
    И сразу понятно - настоящий ли это треугольник или самозванец.
    Не прошел проверку - Разворачивайся на сто восемьдесят градусов и ступай восвояси!

    Когда говорят "повернуть на 180° - это значит развернуться задом наперед и
    идти в обратном направлении.

    То же самое в более привычных выражениях, без "жили были":

    Совершим параллельный перенос треугольника АВС вдоль оси ОХ
    на вектор АВ равный длине основания АВ.
    Прямая, DF проходящая через вершины С и С 1 треугольников
    параллельна оси ОХ, в силу того, что перпендикулярные оси ОХ
    отрезки h и h 1 (высоты равных треугольников) равны.
    Таким образом основание треугольника А 2 В 2 С 2 параллельно основанию АВ
    и равно ему по длине (т.к. вершина С 1 смещена относительно С на величину АВ).
    Треугольники А 2 В 2 С 2 и АВС равны по трем сторонам.
    А стало быть углы ∠А 1 ∠В ∠С 2 , образующие развернутый угол, равны углам треугольника АВС.
    => Сумма углов треугольника равна 180°

    С движениями - "трансляциями" так называемыми доказательство короче и наглядней,
    на кусочках мозаики даже малышу может быть понятно.

    Зато традиционное школьное:

    опирающееся на равенство внутренних накрест-лежащих углов, отсекаемых на параллельных прямых

    ценно тем, что дает представление о том - почему это так,
    почему сумма углов треугольника равна развернутому углу?

    Потому что иначе параллельные прямые не обладали бы привычными нашему миру свойствами.

    Теоремы работают в обе стороны. Из аксиомы о параллельных прямых следует
    равенство накрест лежащих и вертикальных углов, а из них - сумма углов треугольника.

    Но верно и обратное: пока углы треугольника составляют 180° - существуют параллельные прямые
    (такие, что через точку не лежащую на прямой можно провести единственную прямую || данной).
    Если однажды в мире появится треугольник, у которого сумма углов не равна развернутому углу -
    то параллельные перестанут быть параллельны, весь мир искривится и перекособочится.

    Если полосы с орнаментом из треугольников расположить друг над другом -
    можно покрыть все поле повторяющимся узором, будто пол плиткой:


    можно обводить на такой сетке разные фигуры - шестиугольники, ромбы,
    звездные многоугольники и получать самые разные паркеты


    Замощение плоскости паркетами - не только занятная игра, но и актуальная математическая задача:

    ________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
    /\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

    Поскольку каждый четырехугольник - прямоугольник, квадрат, ромб и проч.,
    может быть составлен из двух треугольников,
    соответственно сумма углов четырехугольника: 180° + 180°= 360°

    Одинаковые равнобедренные треугольники складываются в квадраты разными способами.
    Маленький квадратик из 2-х частей. Средний из 4-х. И самый большой из 8-ми.
    Сколько на чертеже фигур, состоящих из 6-ти треугольников?