Полная реактивная проводимость. Активная и реактивная проводимости воздушных и кабельных линий. Вопросы для самопроверки

Проводимости

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному напряжению

где y=1/z - величина обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью.

Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны. Комплексную проводимость можно представить в виде

где - действительная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью; - значение мнимой части комп-лексной проводимости, называется реактивной проводимостью;

Из (3.30) и ( 3.29) следует, что для схемы, представленной на рис. 3.12 , комплексная проводимость

и называются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями.

Реактивная проводимость

Индуктивная и емкостная проводимости - арифметические величины, а реактивная проводимость b - алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости , а реактивная проводимость b ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. .

Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотношения индуктивной и емкостной проводимостей. Для схемы по рис. 3.12 на рис. 3.14 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно При построении этих диаграмм начальная фаза напряжения принята равной нулю, поэтому , как это следует из ( 3.28), равны и противоположны по знаку ().

Рассматривая схему на рис. 3.12 в целом как пассивный двухполюсник, можно заметить, что при заданной частоте она эквивалентна в первом случае параллельному соединению сопротивления и индуктивности, во втором - сопротивлению и в третьем - параллельному соединению сопротивления и емкости. Второй случай называется резонансом. При заданных L и С соотношение между зависит от частоты, а поэтому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Обратим внимание на то, что в схеме рис. 3.12 каждая из параллельных ветвей содержит по одному элементу. Поэтому получилось такое простое выражение для У, в которое проводимости элементов входят как отдельные слагаемые.

Заметим, что обозначения применяются не только для сопротивлений и проводимостей, но и для элементов схемы, характеризуемых этими величинами. В таких случаях элементам схемы дают те же самые наименования, какие присвоены величинам, которые обозначаются этими буквами. Комплексные сопротивления или проводимости как элементы схемы имеют условное обозначение в виде прямоугольника (см. рис. 3.1). Точно так же обозначают реактивные сопротивления или проводимости, если хотят отметить, что они могут быть как индуктивными, так и емкостными сопротивлениями или проводимостями.

При анализе и расчете разветвленных цепей переменного тока удобнее использовать не сопротивления отдельных ветвей, а их проводимости.

Предположим, что в состав разветвленной цепи входит ветвь с последовательным соединением активного R , индуктивного X L и емкостного Х с сопротивлений (рис. 2.17).

При построении векторной диаграммы ток / ветви разложим на составляющие :

• активную составляющую / а, совпадающую с напряжением U по фазе;
• индуктивную составляющую I L , отстающую по фазе от напряжения U на угол я/2;
• емкостную составляющую / с, опережающую напряжение по фазе на угол я/2.

Рис. 2.17.

Рис. 2.18.

Рис. 2.19.

Рис. 2.20.

В качестве базисного вектора примем вектор напряжения U, как величины, общей для всех ветвей цепи (рис. 2.18). При построении диаграммы принято, что

Выделим из векторной диаграммы треугольник ОАВ. Этот треугольник называется треугольником токов (рис. 2.19). Вектор АВ называется реактивной составляющей токов:

Из треугольника токов получается соотношение между током / цепи и его составляющими:

Разделив все стороны треугольника токов на напряжение U, получим треугольник проводимостей (рис. 2.20). В этом треугольнике G = / а / U - активная проводимость, B L = I L /U - индуктивная проводимость, В с = Iq/U - емкостная проводимость, Y = I/U - полная проводимость. Разность индуктивной и емкостной проводимостей называется реактивной проводимостью:

Из треугольника проводимостей получаются следующие расчетные выражения:

Таким образом, ветвь схемы (рис. 2.17), состоящей из последовательно соединенных сопротивлений R, X L и Х с, может быть заменена параллельным соединением проводимостей G, В^ и В с (рис. 2.21).

Обе схемы равноценны, т. е. эквивалентны. Схемы называются эквивалентными, если при подведении к ним напряжения ток / в разветвленной части цепи обеих схем одинаков, сдвиг по фазе между напряжением и током один и тот же по величине и знаку.

Установим связь между сопротивлениями и проводимостями рассматриваемой ветви. Для схемы, изображенной на рис. 2.17:

Для схемы, изображенной на рис. 2.21:

Из сопоставления выражений для тока следует, что полная проводимость Y равна обратной величине полного сопротивления:

Подставив в выражения для активной и реактивной проводимостей значения Y, sin ср и cos ср, получим формулы преобразования последовательного соединения в параллельное:

Аналогичным образом можно получить формулы преобразования параллельного соединения в последовательное:

Рис. 2.21.

Следует иметь в виду, что обратными друг другу являются только полное сопротивление Z и полная проводимость 7; активное и реактивное сопротивления и проводимость не являются обратными величинами.

Полученные формулы могут быть использованы при расчете разветвленных цепей.

Пример 2.8. К линии электропередачи (рис. 2.22), имеющей активное сопротивление R = 4 Ом и индуктивное сопротивление X = 3 Ом подключены приемники. Параметры приемников: R = 7 Ом, Х= 24 Ом, R = 16 Ом; Х= 12 Ом. Напряжение на приемниках 17= 220 В.

Определить ток в линии и напряжение в ее начале.

Решение. Активные и реактивные проводимости приемников:

Активные и реактивные составляющие токов приемников:

Активная составляющая тока линии равна арифметической сумме активных составляющих токов приемников:

Рис. 2.22.

Реактивная составляющая тока линии равна алгебраической сумме реактивных составляющих токов приемников (индуктивным токам приписывают положительный знак, емкостным - отрицательный):

Ток линии:

Эквивалентная активная проводимость приемников

Эквивалентная реактивная проводимость приемников

Эквивалентное активное сопротивление приемников

Эквивалентное реактивное сопротивление (имеющее емкостный характер, так как В пр является емкостной)

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Напряжение в начале линии:

Решение получилось довольно громоздким. Поэтому метод проводимостей применяется лишь при расчете сравнительно простых цепей, например, только при параллельном соединении сопротивлений. Для расчета более сложных цепей применяется символический метод расчета, суть которого будет рассмотрена далее.

Вопросы для самопроверки

• 1. Что означают понятия «активная составляющая тока» и «реактивная составляющая тока»?
• 2. Какие отношения можно записать для треугольников токов и проводимостей?

• 3. Являются ли проводимости и соответствующие сопротивления величинами, обратными друг другу?
• 4. Какие существуют простейшие схемы замещения электрических приемников? Когда и какой из них целесообразнее воспользоваться?
• 5. Какие существуют зависимости между сопротивлениями и проводимостями?

• Физически ток не имеет составляющих: по всем элементам ветви протекает один и тотже ток. Однако с целью упрощения анализов и расчетов электрических цепей целесообразноток раскладывать на условные составляющие.

. Конденсатор (идеальная емкость)

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (3) вытекает, что. Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления Х L и Х С, в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью .

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка-). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называютвольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем: , так как.

.

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:

.

Резистор (идеальное активное сопротивление).

Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощностьвсегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность

25. Активная, реактивная и полная проводимость цепи.

При параллельном соединении элементов R , L , C (рис. 1) полная проводимость равна
(1)

где g = 1/ R – активная проводимость цепи;

b – реактивная проводимость цепи.

Реактивная проводимость цепи при этом определяется выражением
(2)

Ток в цепи определяется выражением

(3)

Ток в активной проводимости совпадает с напряжением по фазе

(4)

Ток в ёмкости определяет напряжение по фазе на 90 0

(5)

Ток в индуктивности отстаёт от напряжения по фазе на 90 0

(6)

Средняя активность мощность, расходуемая в цепи

(7)

Сдвиг фаз между напряжением U на зажимах цепи и током I в ней определяется выражениями

(8)

(9)

26. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные понятия, законы коммуникации.

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.

Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Законы коммутации

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и, что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

.

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа. Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при.

Ответ: R=r o ·l, где r o – погонное активное сопротивление (Ом/км). Активное сопротивление воздушных и кабельных линий, определяется материалом токоведущих проводников и их сечения. В какой-то степени оно зависит от температуры проводников и частоты протекающего по ним переменного тока. Однако это влияние мало, и при расчетах электрических сетей его обычно не учитывают. Поэтому значения сопротивления r 0 для каждой марки провода или кабеля, как правило, принимают по таблицам, соответствующим передаче постоянного тока и температуре +20ºС. r 0 t = r 0 20 ·(1+α(t-20)), где α-температурный коэффициент; r 0 20 –сопротивление при 20 ºС. При оценочных расчетах для проводников из цветных металлов активное сопротивление может быть определено по формуле: r 0 =ρ/F, где ρ-удельное сопротивление(Ом·мм 2 /км), F-сечение проводника(мм 2).

G=g 0 ·l, где g 0 - удельная активная проводимость (См/км). Проводимость, обусловленная потерями на корону, величина сильно переменная и зависит от влажности воздуха и других метеорологических условий. Усредненное значение активной проводимости за год получают через средние потери на корону ΔP к: ; , где ΔP куд - удельные среднегодовые потери на корону (кВт/км).

Потери мощности на корону учитывают для ВЛ с Uном 330кВ и выше. В ВЛ 110-220кВ эти потери можно не учитывать, т.к. ПУЭ установлены минимальные сечения проводов, для снижения ΔP к до приемлемых уровней. Для ВЛ 110кВ – АС 70/11, ВЛ 220кВ – АС 240/32.

Наиболее радикальным средством снижения потерь мощности на корону является увеличение диаметра провода. X=x 0 ·l, где x 0 , – погонное индуктивное сопротивление (Ом/км).

Индуктивное сопротивление обусловлено магнитным полем, возникающем вокруг и внутри проводов и жил кабелей, которое наводит в каждом проводнике электродвижущую силу самоиндукции. Индуктивное сопротивление зависит от взаимного расположения проводников, их диаметра и магнитной проницаемости и частоты переменного тока. Для воздушных линий с алюминиевыми и сталеалюминевыми проводами сопротивление на 1 км рассчитывается: x 0 =0,144·lg(2·D ср /d)+0,0156, где Dср - среднегеометрическое расстояние между проводами фаз, мм, d – диаметр провода, мм.

D ср зависит от вида расположения опор и U ном D ср = , где D А B , D BC , D CA - расстояние между проводами соответствующих фаз.

Для воздушных линий значение x 0 приводятся в справочной таблице в зависимости от D ср или напряжения и марки провода. На индуктивное сопротивление кабельных линий оказывают влияние конструктивные особенности кабелей. При расчетах пользуются заводскими данными об x 0 , приводимыми в справочнике. Реактивная проводимость линии обусловлена емкостями между проводами разных фаз и емкостью провод-земля. Ее определяют по формуле: , B=b 0 ·l, где b 0 - удельная реактивная (емкостная) проводимость, Ом/км. Для воздушных линий удельная емкостная прово­димость может быть найдена как или определена по справочным таблицам в зависимо­сти от марки провода и среднегеометрического рассто­яния между проводами или ном. напряже­ния. Ёмкостная проводимость кабельных линий зависит от конструкции кабеля и указывается заводом-изгото­вителем, но для ориентировочных расчетов она может быть оценена по формуле. Очевидно, что величи­на b 0 для кабельных линий значительно больше, чем для воздушных из-за меньших значений Dср.

Проводимости

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному напряжению

где y=1/z - величина обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью .
Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны. Комплексную проводимость можно представить в виде

где - действительная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью ; - значение мнимой части комп-лексной проводимости, называется реактивной проводимостью ;

Из () и ( 3.29) следует, что для схемы, представленной на рис. 3.12 , комплексная проводимость

где


и называются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями .
Реактивная проводимость


Индуктивная и емкостная проводимости - арифметические величины, а реактивная проводимость b - алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости , а реактивная проводимость b ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. .


Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотношения индуктивной и емкостной проводимостей. Для схемы по на рис. 3.14 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно При построении этих диаграмм начальная фаза напряжения принята равной нулю, поэтому , как это следует из ( 3.28), равны и противоположны по знаку ().
Рассматривая схему на рис. 3.12 в целом как пассивный двухполюсник, можно заметить, что при заданной частоте она эквивалентна в первом случае параллельному соединению сопротивления и индуктивности, во втором - сопротивлению и в третьем - параллельному соединению сопротивления и емкости. Второй случай называется резонансом. При заданных L и С соотношение между зависит от частоты, а поэтому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.
Обратим внимание на то, что в схеме рис. 3.12 каждая из параллельных ветвей содержит по одному элементу. Поэтому получилось такое простое выражение для У, в которое проводимости элементов входят как отдельные слагаемые.
Заметим, что обозначения применяются не только для сопротивлений и проводимостей, но и для элементов схемы, характеризуемых этими величинами. В таких случаях элементам схемы дают те же самые наименования, какие присвоены величинам, которые обозначаются этими буквами. Комплексные сопротивления или проводимости как элементы схемы имеют условное обозначение в виде прямоугольника (см. рис. 3.1). Точно так же обозначают реактивные сопротивления или проводимости, если хотят отметить, что они могут быть как индуктивными, так и емкостными сопротивлениями или проводимостями.